1、2020-2021学年广东省深圳市南山区南头中学高一（下）期末数学调研试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合Ax|2x4，B2，3，4，5，则（RA）B（）A2B4，5C3，4D2，32已知z2+i，则（）A6+2iB42iC62iD4+2i3已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A3BC6D4下列区间中，函数单调递增的区间是（）ABCD5古代将圆台称为“圆亭”，九章算术中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（）A立方丈B立方丈C立方丈D立方丈6已知二次函数yx2
2、2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（）Aa2或a3B2a3Ca3或a2D3a27如图所示，在平面四边形ABCD中，ADCD，ACBC，B60o，现将ACD沿AC边折起，并连接BD，当三棱锥DABC的体积最大时，其外接球的表面积为（）A4B8C12D168ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b2ccosB，若CD是角C的平分线，AD，DB，求CD的长（）A3B2CD二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知角，满足+，则下列结论正确的是（）Asi
3、n（+）sinBcos（+）cosCD10一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为X，则X1，2，3，4，5，6，7，8，定义事件：AX|X1，2，3，4，事件：BX|X1，5，6，7，事件：CX|X1，5，6，8，则下列判断正确的是（）AP（A+B）1BCP（ABC）P（A）P（B）P（C）DA，B，C两两相互独立11已知ABC是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且3，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则的取值可能是（）ABC0D12已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），AB3，DC1，BAD45，DEAB将ADE沿DE折起
4、，使得AEEB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点下列结论中正确的是（）ABCADB点E到平面AMC的距离为CEM平面ACDD四面体ABCE的外接球表面积为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数f（x）x3（a2x2x）是偶函数，则a 14平面内非零向量，有|3，|4，0且|2，则|的最大值为 15已知函数f（x）x+1，g（x）2|x+2|+a若对任意x13，4，存在x23，1，使f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是 16已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，点D，E分别是PB，BC的中点，PA3，PDDE2，PE2，AE，则球O的表面积为 四、解
5、答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知复数（i是虚数单位）（）求复数z的模长；（）若z2+az+b1+i（a，bR），求a，b的值18如图，在ABC中，AB2，AC3，BAC60，（1）求CD的长；（2）求的值19为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kWh），并将得到的数据按如下方式分为9组：0，40），40，80），320，360绘制得到如图的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在160，200）的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使7
6、5%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数；范围用左开右闭区间表示）；（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为0，40）和320，360的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率20在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答函数的图象关于原点对称；函数yf（x）的图象关于直线对称已知函数，f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，_（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）f（x）cos2x在上的取值范围21如图，在半圆柱W
7、中，AB为上底面直径，DC为下底面直径，AD为母线，ABAD2，点F在上，点G在上，BFDG1，P为DC的中点（1）求三棱锥ADGP的体积；（2）求直线AP与直线BF所成角的余弦值；（3）求二面角AGCD的正切值22已知函数f（x）log2（x1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）设g（x）f（x）+a，若函数g（x）在（2，3）上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；（3）设，是否存在正实数m，使得函数yh（x）在3，9内的最小值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合Ax|2x4，B2，3，4，5，则（RA）B（）A2B
8、4，5C3，4D2，3解：Ax|2x4，RAx|x2或x4，B2，3，4，5，（RA）B4，5，故选：B2已知z2+i，则（）A6+2iB42iC62iD4+2i解：z2+i，（2+i）（22i）44i+2i+262i，故选：C3已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A3BC6D解：设圆锥的母线长为l，由底面半径为r，侧面展开图为一个半圆，所以2rl，所以该圆锥的母线长为l2r2故选：B4下列区间中，函数单调递增的区间是（）ABCD解：对于函数，令2kx+2k+，求得2kx2k+，可得函数的单调递增的区间是2k，2k+，kZ，故排除A、B、C，由于（，2）是2k，
9、2k+，kZ的一个子集，故函数在（，2）上单调递增，故选：D5古代将圆台称为“圆亭”，九章算术中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（）A立方丈B立方丈C立方丈D立方丈解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2r2，2R3，得r，R又圆台的高为1，圆台的体积V立方丈故选：B6已知二次函数yx22ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（）Aa2或a3B2a3Ca3或a2D3a2解：由于二次函数yx22ax+1的对称轴为xa，若yx22ax+1在区间（2，3）内是单调增函数，则有a2若yx2
10、2ax+1在区间（2，3）内是单调减函数，则有a3故选：A7如图所示，在平面四边形ABCD中，ADCD，ACBC，B60o，现将ACD沿AC边折起，并连接BD，当三棱锥DABC的体积最大时，其外接球的表面积为（）A4B8C12D16解：由题意，当平面ACD平面ABC时，三棱锥的高最大，此时体积最大，ADCD，ACD的高为，D是投影在AC的中点平面ACD平面ABC，三棱锥的高为，AC2，BC2，AB4又ACBC，B60o，平面ABC外接圆半径r2，设球心O到圆心O的距离为d，可得R2r2+d2R2由解得R2外接球的表面积S4R216；故选：D8ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2
11、a+b2ccosB，若CD是角C的平分线，AD，DB，求CD的长（）A3B2CD解：由余弦定理知cosB，2a+b2ccosB，2a+b2c，即a2+b2c2ab，由余弦定理知，cosC，C（0，），C由角分线定理知2，设BCx，则AC2x，在ABC中，由余弦定理知，AB2AC2+BC22ACBCcosACB，（3）24x2+x222xx（），解得x3，aBC3，bAC6，cosB，在BCD中，由余弦定理知，CD2BD2+BC22BDBCcosB7+9234，CD2故选：B二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2
12、分，有选错的得0分。9已知角，满足+，则下列结论正确的是（）Asin（+）sinBcos（+）cosCD解：由于角，满足+，+，sin（+）sin（）sin，故A正确；+，即 +，cos（+）cos（）cos，故B错误；，sinsincos，故C错误；由于+，即（ +）（ ），coscossin，故D正确，故选：AD10一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为X，则X1，2，3，4，5，6，7，8，定义事件：AX|X1，2，3，4，事件：BX|X1，5，6，7，事件：CX|X1，5，6，8，则下列判断正确的是（）AP（A+B）1BCP（A
13、BC）P（A）P（B）P（C）DA，B，C两两相互独立解：由题意，P（A），同理P（B）P（C），对于A，P（A+B），故选项A错误；对于B，故选项B正确；对于C，又P（A）P（B）P（C），所以P（ABC）P（A）P（B）P（C），故选项C正确；对于D，所以A，B，C不是两两相互独立，故选项D错误故选：BC11已知ABC是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且3，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则的取值可能是（）ABC0D解：如图，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），可设+（1），其中01，+（1）（）+（1）（）2+（1）+1（1），01，的取值范围是：，故选：AB12已知四
14、边形ABCD是等腰梯形（如图1），AB3，DC1，BAD45，DEAB将ADE沿DE折起，使得AEEB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点下列结论中正确的是（）ABCADB点E到平面AMC的距离为CEM平面ACDD四面体ABCE的外接球表面积为5解：在图1中，过C作CFEB，DEEB，四边形CDEF是矩形，CD1，EF1四边形ABCD是等腰梯形，AB3，AEBF1BAD45，DECF1连接CE，则CECB，EB2，BC2+EC2BE2，得BCE90，则BCCE在图2中，AEEB，AEED，EBEDE，AE平面BCDEBC平面BCDE，AEBCAECEE，BC平面AEC若BCAD，又BC
15、AE，AEADA，BC平面AED，过一点E与BC垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误；由AE1，EC，得AC，又BC，而，设点E到平面AMC的距离为h，由VABCEVEABC，得，即h，故B正确；假设EM平面ACD，EBCD，CD平面ACD，EB平面ACD，EB平面ACD，又EBEME，平面AEB平面ACD，而A平面AEB，A平面ACD，与平面AEB平面ACD矛盾假设不成立，故EM与平面ACD不平行，故C错误；连接MC，AEB为Rt，ACB为Rt，且M为AB的中点，MAMBMEMC，即M为四面体ABCE的外接球的球心，四面体ABCE的外接球的半径为，则四面体A
16、BCE的外接球表面积为，故D正确故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数f（x）x3（a2x2x）是偶函数，则a1解：函数f（x）x3（a2x2x）是偶函数，yx3为R上的奇函数，故ya2x2x也为R上的奇函数，所以y|x0a2020a10，所以a1故答案为：114平面内非零向量，有|3，|4，0且|2，则|的最大值为7解：平面内非零向量，有|3，|4，0故可建立如图所示的坐标系，则A（3，0），B（0，4），设C（x，y），因为|2，（x3）2+（y4）24，即表示以D（3，4）为圆心，2为半径的圆上的点，因为OD5，故|的最大值为：5+27，故答案为：715已
17、知函数f（x）x+1，g（x）2|x+2|+a若对任意x13，4，存在x23，1，使f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是 （，3解：若对任意x13，4，存在x23，1，使f（x1）g（x2），可得f（x）ming（x）min，由f（x）x+1在3，4递增，可得f（x）的最小值为f（1）4，g（x）2|x+2|+a在3，2上递减，在2，1递增，可得g（x）的最小值为g（2）1+a，所以41+a，解得a3即a的取值范围是（，3故答案为：（，316已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，点D，E分别是PB，BC的中点，PA3，PDDE2，PE2，AE，则球O的表面积为 41解：由PA3，P
18、D2，PE2，AD，AE，得PA2+PD2AD2，PA2+PE2AE2，可得PAPB，PAPE，又PBPEP，PA平面PBC，D，E分别是PB，BC的中点，且PDDE2，PC4，PB4，又PE，BC2BE4，有PB2+PC2BC2，得PBPC，将三棱锥放在长方体中，外接球的直径等于长方体的对角线，设外接球的半径为R，则（2R）232+42+4241，外接球的表面积S4R241故答案为：41四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知复数（i是虚数单位）（）求复数z的模长；（）若z2+az+b1+i（a，bR），求a，b的值解：（）1i，|z|，（）z2+
19、az+b1+i，（1i）2+a（1i）+b1+i，（a+b）（a+2）i1+i，18如图，在ABC中，AB2，AC3，BAC60，（1）求CD的长；（2）求的值解：（1），即CD的长为；（2），19为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kWh），并将得到的数据按如下方式分为9组：0，40），40，80），320，360绘制得到如图的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在160，200）的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5
20、%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数；范围用左开右闭区间表示）；（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为0，40）和320，360的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率解：（1）由频率分布直方图得：样本落在0，40），40，80），80，120），120，160）的频率为0.02，0.15，0.27，0.23，落在200，240），240，280），280，320），320，360）的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01，样本落在160，200）的频率为：1（0.02+
21、0.15+0.27+0.23+0.09+0.06+0.04+0.01）0.13，样本中用电量在160，200）的用户数为2000.1326（2）为了使75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数，0.02+0.15+0.27+0.230.67，0.02+0.15+0.27+0.23+0.130.875%的分位数必位于160，200）内，160+401850.02+0.15+0.27+0.23+0.13+0.09+0.060.95，95%分位数为280第二档的范围可确定为（185，280（3）由题可知，样本中用电量在0，40的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4，在320，360
22、的用户有2户，设编号为a，b，则从6户中任取2户的样本空间为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），共15个样本，设事件A“走访对象来自不同分组”，则A（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），n（A）8，走访对象来自不同分组的概率p20在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答函数的图象关于原点对称；函数yf（x）的图象关于直线对称已知函数，f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，_（1）求函
23、数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）f（x）cos2x在上的取值范围解：（1）补充函数的图象关于原点对称，f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，即T，f（x）4sin（2x+），又函数的图象关于原点对称，即，又，f（x）的图象解析式为补充函数yf（x）的图象关于直线对称，f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，即T，f（x）4sin（2x+），函数yf（x）的图象关于直线对称，又，f（x）的图象解析式为（2）g（x）f（x）cos2x，即03，函数g（x）f（x）cos2x在上的值域为0，321如图，在半圆柱W中，AB为上底面直径，DC为下底面直径，AD为母线，ABAD2，点F在上，点G在上
24、，BFDG1，P为DC的中点（1）求三棱锥ADGP的体积；（2）求直线AP与直线BF所成角的余弦值；（3）求二面角AGCD的正切值解：（1）由题意知，DPG为正三角形，DPDGPG1，所以，因为AD为圆柱的母线，所以AD平面DCG，所以VADGP（2）过F点作圆柱的母线FH交于H因为FH与BC均为圆柱的母线，所以FHBC且FHBC，所以四边形BCHF为平行四边形，所以FBHC且FBHC1，所以PCH为正三角形，又因为DPG为正三角形，所以HCPGPD60，CHGP，所以BFCHGP，所以APG为直线AP与BF所成的角，在APG中，所以由余弦定理知：，所以直线AP与直线BF所成角的余弦值为（3）
25、因为AD平面DCG，CG平面DCG，所以CGAD，又因为CGDG，ADDGD，所以CG平面ADG，所以CGAG，CGDG，因此AGD为二面角AGCD的平面角，在RtADG中，AD2，DG1，所以二面角AGCD的正切值为222已知函数f（x）log2（x1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）设g（x）f（x）+a，若函数g（x）在（2，3）上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；（3）设，是否存在正实数m，使得函数yh（x）在3，9内的最小值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【解答】解（1）函数f（x）log2（x1）由x10，即x1函数f（x）的定义域为x|x1；（2）函数g（x）f（x）+a，函数g（x）在（2，3）上有且仅有一个零点可得函数f（x）与函数ya在（2，3）上有且仅有一个交点；x（2，3）上，那么0f（x）1，又f（x）log2（x1）是单调递增函数，0a1，故得实数a的取值范围1a0；（3）函数yh（x）在3，9内的最小值为4，设，令f（x）t，（1t3）可得h（t）t+4，当t时，可得等号；此时m4，t2故存在函数yh（x）在3，9内的最小值为4，此时m的值为4
