1、20192020学年度第一学期期中抽测高二数学试题一、单选题：（本大题一共10道小题，每题只有一个正确答案，每题4分，共40分）1.数列3，6，11，20，的一个通项公式为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由数列的前面有限项，归纳出，得解.【详解】解:由数列3，6，11，20，可得,故选:C.【点睛】本题考查了用不完全归纳法求数列的通项公式，属基础题.2.在等差数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用等差中项的性质得出的值，再利用等差中项的性质可得出的值.【详解】由等差中项的性质可得，因此，故选：D.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求
2、解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题.3.已知，则y的最小值为（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】由，即，则，再结合重要不等式求最值即可.【详解】解：因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故选：C.【点睛】本题考查了重要不等式的应用，重点考查了观察、处理数据的能力，属基础题.4.已知，则p是q的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解不等式得，再由集合是集合的真子集，即可得解.【详解】解：解不等式，得，得，解不等式，变形得：，解得，得，由集合
3、是集合的真子集，可得p是q的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及命题间的充要性，属基础题.5.已知为等差数列的前n项之和，且，则的值为（ ）.A. 63B. 81C. 99D. 108【答案】C【解析】【分析】先由为等差数列的前n项之和，可得 也成等差数列，则，成等差数列，再将，代入运算即可.【详解】解：由为等差数列的前n项之和，则, 也成等差数列，则，成等差数列，所以，由，得，故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的性质及等差中项，重点考查了运算能力，属基础题.6.若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先
4、分离变量得在内有解，再构造函数，再求其值域，再由函数的最值求实数a的取值范围即可得解.【详解】解：关于x的不等式在内有解，等价于，设，又，所以，即实数a的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查了不等式有解问题，通常采用分离变量最值法，属基础题.7.已知数列3，y，x，9是等差数列，数列1，a，b，c，4是等比数列，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由数列3，y，x，9是等差数列，由等差数列的性质可得，由数列1，a，b，c，4是等比数列，由等比数列的性质可得，又，运算可得解.【详解】解：由3，y，x，9是等差数列，解得，由1，a，b，c，4是等比数列，则，又，则，即，故
5、选：A.【点睛】本题考查了等差数列及等比数列的性质，属基础题.8.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）A. 8岁B. 11岁C. 20岁D. 35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3记最小的儿子年龄为，则，解得故选B【点睛】本题考查等
6、差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解9.已知点在直线上，若存在满足该条件的a，b使得不等式成立，则实数m的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出的最小值，再利用不等式有解问题，可得，再解不等式即可.【详解】解：因为点在直线上，则，即，则，当且仅当，即时取等号， 即，即，解得或，故选:A.【点睛】本题考查了不等式有解问题，重点考查了重要不等式的应用，属中档题.10.已知等比数列的公比为，且，数列满足，若数列有连续四项在集合中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可知数列的连续四项，从而可判断，再分别列举满足符合条
7、件的情况，从而得到公比.【详解】因为数列有连续四项在集合中，所以数列有连续四项在集合中，所以数列的连续四项不同号，即.因为，所以，按此要求在集合中取四个数排成数列，有-27，24，-18，8；-27，24，-12，8；-27，18，-12，8三种情况，因为-27，24，-12，8和-27，24，-18，8不是等比数列，所以数列的连续四项为-27，18，-12，8，所以数列的公比为.【点睛】本题主要考查等比数列的综合应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，分类讨论能力，难度较大.二、多选题：（本大题一共3道小题，每题4分，共12分，每题漏选得2分，错选或多选不得分）11.给出下面四个推断，其
8、中正确的为（ ）.A. 若，则；B. 若则；C. 若，则；D. 若，则.【答案】AD【解析】【分析】由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D正确，选项B，C错误.【详解】解：对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确； 对于选项B，当时，显然不成立，即选项B错误；对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；对于选项D，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，即四个推段中正确的为AD，故答案为：AD.【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题.12.下列命题的是真命题的是（ ）.A. 若，则；B. 若，则C. 若，则D. 若，
9、则【答案】BD【解析】【分析】分别取特殊情况可得选项A,C错误，由同向不等式的可加性可得选项B正确，由不等式两边同时除以一个正数，不等号的方向不变，可得选项D正确.详解】解：对于选项A，取，显然不成立，即选项A错误；对于选项B，因为，则，又，则，即选项B正确；对于选项C，取，,显然不成立，即选项C错误；对于选项D，因为，则，则，即选项D正确，即命题是真命题的是BD,故答案为：BD.【点睛】本题考查了不等式的性质，属基础题.13.在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（ ）.A. B. 数列是等比数列C. D. 数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】【分析】
10、先由已知条件求得数列的通项公式及前项和，再利用定义法判断数列是否为等差数列或等比数列，得解.【详解】解：因为数列为等比数列，又，所以，又，所以或，又公比q为整数，则，即， 对于选项A，由上可得，即选项A正确；对于选项B，则数列是等比数列，即选项B正确；对于选项C，即选项C正确；对于选项D，即数列是公差为1的等差数列，即选项D错误，即说法正确的是ABC，故答案为：ABC.【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前项和的运算，重点考查了等差数列、等比数列的判定，属中档题.三、填空题：（本大题一共4道小题，每题4分，共16分）14.已知命题p：“x R，exx10”，则 为_【答案】xR，exx10【解
11、析】【分析】根据特称命题的否定是全程命题可得结果.【详解】因为特称命题的否定是全程命题，所以“”的否定为“”，故答案为.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.15.在数列中，数列是等差数列.则_.【答案】【解析】【分析】先设，由数列是等差数列，则是等差数列，则，再将已知条件代入运算即可得解.【详解】解：设，则是等差数列，又，所以，又，所以，即，即，故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的性质，
12、重点考查了运算能力，属基础题.16.已知实数，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先由实数，则，且，再构造，利用重要不等式求最值即可.【详解】解：因为实数，则，且，则=，当且仅当取等号，即的最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查了重要不等式的应用，重点考查了对表达式数据的分析处理能力，属中档题.17.已知函数，若，都有，则实数m取值范围是_.【答案】【解析】【分析】函数，若，都有，等价于，再求函数，的最值即可得解.【详解】解：由，则，由，则，因为函数，若，都有，则，即，即，故答案为：.【点睛】本题考查了不等式有解与恒成立问题，重点考查了函数的最值的求法，属中档题.四、解答题：（本大题一
13、共6道题，共82分）18.记为等差数列的前n项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并指出当的取得最小值时对应的n的值.【答案】（1）；（2）；取最小值-60时，n等于5或6.【解析】【分析】（1）由等差数列通项公式的求法可得；（2）由等差数列前n项和公式可得，再结合二次函数的最值的求法即可得解.【详解】解：（1）设数列的公差为d,则，解得：， ； （2）由（1）得， 由于，于是，当n取值或时，取最小值，故当n取值或时，取最小值，【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及等差数列前n项和及最值，属基础题.19.已知：函数（1）当时，求函数的定义域。（2）当函数的定义域为R时，求实数k的取值
14、范围。【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）取，解不等式，即可得解；（2）函数的定义域为R，则恒成立，再分别讨论当时，当时实数k的取值范围，得解.【详解】解：（1）当时，函数为，由得或，所以，此函数的定义域为； （2）当时，大于0恒成立；当时，必有且既有，解之得：， 综上所述：实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数定义域的求法及不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.20.如图，有一壁画，最高点A处离地面6米，最低点B处离地面3米。若从离地高2米的C处观赏它，视角为. （1）若时，求C点到墙壁的距离。（2）当C点离墙壁多远时，视角最大？【答案】（1）2米；（2）
15、2米；【解析】【分析】（1）结合题意，设，则视角，设C点到墙壁的距离为米，则有，由两角差的正切公式可得，再将代入即可得解；（2）将表示为关于的函数，再结合重要不等式求其最值即可得解，一点要注意取等的条件.【详解】解：（1）设，则视角，设C点到墙壁的距离为米，则有， ，所以，当时，解得；（2）由（1）知（当且仅当即时等号成立），所以，当视角达到最大，故当时，C点到墙壁距离为2米，此时视角达到最大.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及重要不等式，重点考查了解决实际问题的能力，属中档题.21.记为正项等比数列的前n项和，若（1）求数列的公比q的值.（2）若，设为该数列的前项的和，为为数列的前n项和，
16、若，试求实数t的值。【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）由等比数列的前项和公式可得，可化简为，再求解即可；（2）由等比数列的性质可得数列是首项为1，公比为的等比数列，再求和运算即可.【详解】解：（1）由已知 ，则，即：， 解得：，又，故； （2）在等比数列中：， 所以，所以，由等比数列的性质可得数列是首项为1，公比为的等比数列，所以， 由，即，又，即故.【点睛】本题考查了等比数列的前项和，重点考查了等比数列的性质，属中档题.22.记为等差数列的前n项和，满足（1）证明数列是等比数列，并求出通项公式；（2）数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析】（1）利用求得，再
17、证明数列是等比数列即可；（2）由，则，再采用分组求和与错位相减法求和即可得解.【详解】解：（1） ， 当时，所以，当时，即， ，所以，数列是等比数列，又,所以，即，综上，数列的通项公式为 ；（2）因为所以，其中，由得，两式作差得，即， 故.【点睛】本题考查了由的关系求数列的通项公式，重点考查了分组求和与错位相减法求和，属中档题.23.已知函数（1）设，若不等式对于任意x都成立，求实数b的取值范围；（2）设，解关于x的不等式组；【答案】（1）（2）当时,不等式组的解集为,当时,不等式组的解集为.【解析】【分析】(1)由当时,恒成立,即恒成立，即，可得，再求解即可；(2)当时,的图象的对称轴为，再分三种情况讨论即可得解.【详解】解：(1)当时,恒成立,即恒成立，因为, 所以,解之得,所以实数 的取值范；(2)当时,的图象的对称轴为， ()当,即时,由,得, ()当,即或时当时,由,得,所以,当时,由,得,所以或, ()当,即或时,方程的两个根为, 当时,由知,所以的解为或,当时,由知,所以解为,综上所述：当时,不等式组的解集为,当时,不等式组的解集为.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及解二次不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
