1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1 集合与函数的概念 第一章 1.3 函数的基本性质第一章 1.3.2 奇偶性第二课时 函数性质习题课题 型 讲 解 2当 堂 检 测 3课 时 作 业 4知 识 整 合 1知 识 整 合网络构建规律小结(1)判断函数单调性的步骤:任取x1,x2R,且x1x2;作差:f(x1)f(x2);变形(通分、配方、因式分解);判断差的符号,下结论(2)求函数单调性要先确定函数的定义域(3)若f(x)为增(减)函数,则f(x)为减(增)函数(4)复合函数yf(g(x)的单调性遵循“同增异减”的原则(5)奇函数的性质:图象关于原点对称;在关于原点对
2、称的区间上单调性相同;若在x0处有定义,则有f(0)0.(6)偶函数的性质:图象关于y轴对称;在关于原点对称的区间上单调性相反;f(x)f(x)f(|x|)(7)若奇函数f(x)在a,b上有最大值M,则在区间b,a上有最小值M;若偶函数f(x)在a,b上有最大值m,则在区间b,a上也有最大值m.题 型 讲 解函数单调性的应用若函数 f(x)x22ax2a,x1,ax1,x1是(,)上的减函数,则实数 a 的取值范围是 导学号 22840413()A(2,0)B2,0)C(,1D(,0)思路分析(1)如果分段函数为定义域上的减函数,那么在每个分段区间内的单调性是怎样的?(2)要保证分段函数在整个
3、定义域内单调递减,需要满足什么条件?解析 由x1时,f(x)x22ax2a是减函数,得a1;由x1时,函数f(x)ax1是减函数,得a0.分段点x1处的值应满足122a12a1a1,解得a2.所以2a0.答案 B规律总结 在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时,不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的,而且还要求函数的特殊点分段点处的值,也要结合函数的单调性比较大小,如本例中的分段点x1,即需要在此处列出满足题意的关系式,求出a的限制条件导学号 22840414已知函数 f(x)x21,x0,1,x0,则满足不等式 f(1x)f(2x)的 x 的取值范围是_答案(,13)解析 画出函
4、数 f(x)x21,x01,x0的图象,如下图所示由 f(1x)f(2x),得1x0,2x0或1x2x,2x0,解得 x0或 0 x13.所以所求 x 的取值范围为(,13).奇偶性的应用设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x0 时,f(x)x2 1,若f(a)3,则 实 数a的 值 为_.导学号 22840415分析 利用偶函数的对称性,先求 a0 时,a 的值,再求 a0 时 a 的值解析 当 a0 时,由 f(a)a213,得 a 2.又由函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数,根据对称性知,当 a0 时,由f(a)f(a)a213应有a 2,所以实数a的值为 2.答案 2答
5、案 0分析 逆用偶函数的定义求a.解析 显然xR,由已知得f(x)(x)2|xa|x2|xa|,又f(x)为偶函数,所以f(x)f(x),即x2|xa|x2|xa|,即|xa|xa|,又xR,所以a0.导学号 22840416若函数 f(x)x2|xa|为偶函数,则实数 a_.奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上的单调性已知 ba0,偶函数 yf(x)在区间b,a上是增函数,问函数 yf(x)在区间a,b上是增函数还是减函数?导学号 22840417思路分析 由函数奇偶性与单调性的定义判断解析 设ax1x2b,则bx2x1a.f(x)在b,a上是增函数f(x2)f(x1)又f(x)是偶函数,
6、f(x1)f(x1),f(x2)f(x2)于是 f(x2)f(x1),故f(x)在a,b上是减函数点评 由函数单调性和奇偶性的定义,可以证明在关于原点对称的两个区间上,偶函数的单调性恰是相反的,奇函数的单调性是相同的规律总结 函数的单调性与奇偶性的关系(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反(2)奇函数在对称区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在对称区间上的最值相同导学号 22840418(1)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数,在2,6上是减函数,比较 f(5)与 f(3)的大小(2)
7、如果奇函数 f(x)在区间1,6上是增函数,且最大值为 10,最小值为 4,那么 f(x)在6,1上是增函数还是减函数?求f(x)在6,1上的最大值和最小值解析(1)f(x)是偶函数,f(5)f(5),f(x)在2,6上是减函数,f(5)f(3),f(5)f(3)(2)设6x1x21,则1x2x16,f(x)在1,6上是增函数且最大值为10,最小值为4,4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10,又f(x)为奇函数,4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10,10f(6)f(x1)f(x2)f(1)4,即f(x)在6,1上是增函数,且最小值为10,最大值为4.函数性质的综合应用若函数 f(x)
8、是定义在 R 上的偶函数,在(,0上是减函数,且 f(2)0,则使得 f(x)0 的 x 的取值范围是导学号 22840419()A(,2)B(2,2)C(2,)D(,2)(2,)答案 B规律总结 可用数形结合法求解由题意画出示意图如图所示可知选B.解析 由题意知 f(2)f(2)0,当x(2,0)时,f(x)f(2)0,由对称性知,x0,2)时,f(x)为增函数,f(x)f(2)0,故x(2,2)时,f(x)0时,f(x)0时,f(x)0,对其中的x,y不断赋值解析(1)令yx,得fx(x)f(x)f(x),f(x)f(x)f(0)又f(00)f(0)f(0),f(0)0,f(x)f(x)0
9、,f(x)f(x),f(x)是奇函数(2)任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)f(x2)f(x1)fx1(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)f(x2x1)x10,又当x0时,f(x)0,f(x2x1)0,即f(x1)f(x2),从而f(x)在R上是减函数(3)f(x)在R上是减函数 f(x)在3,3上的最大值是f(3),最小值是f(3)f(3)f(1)f(2)3f(1)3(2)6,f(3)f(3)6.从而f(x)在区间3,3上的最大值是6,最小值是6.规律总结 对抽象函数的奇偶性与单调性的证明,围绕证明奇偶性与单调性所需要的关系式,对所给的函数关系式赋值导学号 22840422
10、函数 f(x)的定义域为 Dx|x0,且满足对于任意 x1,x2D,有 f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明;(3)如果 f(4)1,f(3x1)3,且 f(x)在(0,)上是增函数,求 x 的取值范围解析(1)令 x1x21,得 f(11)f(1)f(1),解得 f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明:令 x1x21,则 f(1)(1)f(1)f(1),解得 f(1)0.令 x11,x2x,则 f(x)f(1)f(x),f(x)f(x),f(x)为偶函数(3)f(44)f(4)f(4)2,f(164)f(16)f(4)3.又 f(3x1)3,即 f(3x1)f(64)f(x)在(0,)上是增函数且 f(x)是偶函数,3x10,3x164 或3x10 时,f(x)x22x,则 x0 时,f(x)x22x.其中正确结论的序号是:_.5已知函数 f(x)x24x3.导学号 22840427(1)若 g(x)f(x)bx 为偶函数,求 b;(2)求函数 f(x)在3,3上的最大值解析(1)g(x)f(x)bxx2(b4)x3,g(x)x2(b4)x3,g(x)g(x),b40,b4.(2)f(x)x24x3 关于直线 x2 对称,因此 f(x)在 x2 取得最小值1,在 x3 取得最大值 24.课 时 作 业(点此链接)