1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1 集合与函数的概念 第一章 1.3 函数的基本性质第一章 1.3.2 奇偶性第二课时 函数性质习题课题 型 讲 解 2当 堂 检 测 3课 时 作 业 4知 识 整 合 1知 识 整 合网络构建规律小结(1)判断函数单调性的步骤：任取x1，x2R，且x1x2；作差：f(x1)f(x2)；变形(通分、配方、因式分解)；判断差的符号，下结论(2)求函数单调性要先确定函数的定义域(3)若f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数(4)复合函数yf(g(x)的单调性遵循“同增异减”的原则(5)奇函数的性质：图象关于原点对称；在关于原点对
2、称的区间上单调性相同；若在x0处有定义，则有f(0)0.(6)偶函数的性质：图象关于y轴对称；在关于原点对称的区间上单调性相反；f(x)f(x)f(|x|)(7)若奇函数f(x)在a，b上有最大值M，则在区间b，a上有最小值M；若偶函数f(x)在a，b上有最大值m，则在区间b，a上也有最大值m.题 型 讲 解函数单调性的应用若函数 f(x)x22ax2a，x1，ax1，x1是(，)上的减函数，则实数 a 的取值范围是 导学号 22840413()A(2,0)B2,0)C(，1D(，0)思路分析(1)如果分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的单调性是怎样的？(2)要保证分段函数在整个
3、定义域内单调递减，需要满足什么条件？解析 由x1时，f(x)x22ax2a是减函数，得a1；由x1时，函数f(x)ax1是减函数，得a0.分段点x1处的值应满足122a12a1a1，解得a2.所以2a0.答案 B规律总结 在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x1，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件导学号 22840414已知函数 f(x)x21，x0，1，x0，则满足不等式 f(1x)f(2x)的 x 的取值范围是_答案(，13)解析 画出函
4、数 f(x)x21，x01，x0的图象，如下图所示由 f(1x)f(2x)，得1x0，2x0或1x2x，2x0，解得 x0或 0 x13.所以所求 x 的取值范围为(，13).奇偶性的应用设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)x2 1，若f(a)3，则 实 数a的 值 为_.导学号 22840415分析 利用偶函数的对称性，先求 a0 时，a 的值，再求 a0 时 a 的值解析 当 a0 时，由 f(a)a213，得 a 2.又由函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，根据对称性知，当 a0 时，由f(a)f(a)a213应有a 2，所以实数a的值为 2.答案 2答
5、案 0分析 逆用偶函数的定义求a.解析 显然xR，由已知得f(x)(x)2|xa|x2|xa|，又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，即x2|xa|x2|xa|，即|xa|xa|，又xR，所以a0.导学号 22840416若函数 f(x)x2|xa|为偶函数，则实数 a_.奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上的单调性已知 ba0，偶函数 yf(x)在区间b，a上是增函数，问函数 yf(x)在区间a，b上是增函数还是减函数？导学号 22840417思路分析 由函数奇偶性与单调性的定义判断解析 设ax1x2b，则bx2x1a.f(x)在b，a上是增函数f(x2)f(x1)又f(x)是偶函数，
6、f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)于是 f(x2)f(x1)，故f(x)在a，b上是减函数点评 由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的规律总结 函数的单调性与奇偶性的关系(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反(2)奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相同导学号 22840418(1)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，在2,6上是减函数，比较 f(5)与 f(3)的大小(2)
7、如果奇函数 f(x)在区间1,6上是增函数，且最大值为 10，最小值为 4，那么 f(x)在6，1上是增函数还是减函数？求f(x)在6，1上的最大值和最小值解析(1)f(x)是偶函数，f(5)f(5)，f(x)在2,6上是减函数，f(5)f(3)，f(5)f(3)(2)设6x1x21，则1x2x16，f(x)在1,6上是增函数且最大值为10，最小值为4，4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10，又f(x)为奇函数，4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10，10f(6)f(x1)f(x2)f(1)4，即f(x)在6，1上是增函数，且最小值为10，最大值为4.函数性质的综合应用若函数 f(x)
8、是定义在 R 上的偶函数，在(，0上是减函数，且 f(2)0，则使得 f(x)0 的 x 的取值范围是导学号 22840419()A(，2)B(2,2)C(2，)D(，2)(2，)答案 B规律总结 可用数形结合法求解由题意画出示意图如图所示可知选B.解析 由题意知 f(2)f(2)0，当x(2,0)时，f(x)f(2)0，由对称性知，x0,2)时，f(x)为增函数，f(x)f(2)0，故x(2，2)时，f(x)0时，f(x)0时，f(x)0，对其中的x，y不断赋值解析(1)令yx，得fx(x)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(0)又f(00)f(0)f(0)，f(0)0，f(x)f(x)0
9、，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(2)任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1)fx1(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)f(x2x1)x10，又当x0时，f(x)0，f(x2x1)0，即f(x1)f(x2)，从而f(x)在R上是减函数(3)f(x)在R上是减函数 f(x)在3,3上的最大值是f(3)，最小值是f(3)f(3)f(1)f(2)3f(1)3(2)6，f(3)f(3)6.从而f(x)在区间3,3上的最大值是6，最小值是6.规律总结 对抽象函数的奇偶性与单调性的证明，围绕证明奇偶性与单调性所需要的关系式，对所给的函数关系式赋值导学号 22840422
10、函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明；(3)如果 f(4)1，f(3x1)3，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围解析(1)令 x1x21，得 f(11)f(1)f(1)，解得 f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令 x1x21，则 f(1)(1)f(1)f(1)，解得 f(1)0.令 x11，x2x，则 f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.又 f(3x1)3，即 f(3x1)f(64)f(x)在(0，)上是增函数且 f(x)是偶函数，3x10，3x164 或3x10 时，f(x)x22x，则 x0 时，f(x)x22x.其中正确结论的序号是：_.5已知函数 f(x)x24x3.导学号 22840427(1)若 g(x)f(x)bx 为偶函数，求 b；(2)求函数 f(x)在3,3上的最大值解析(1)g(x)f(x)bxx2(b4)x3，g(x)x2(b4)x3，g(x)g(x)，b40，b4.(2)f(x)x24x3 关于直线 x2 对称，因此 f(x)在 x2 取得最小值1，在 x3 取得最大值 24.课 时 作 业（点此链接）