1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1基本初等函数()第二章 章末整合提升第二章 专 题 突 破 3知 识 网 络 1要 点 归 纳 2即 时 巩 固 4知 识 网 络要 点 归 纳1指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化2指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，)两个区间取值时函数的单调性及图象特点3应用指数函数yax和对数函数ylogax的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a1和
2、0a0和0 时有 f(x)0，f(1)2，求 f(x)在2,1上的值域.导学号 22840867分析 根据题中条件显然可猜测 f(x)的模型函数为 f(x)kx(k0)，欲求函数 f(x)的值域，关键是弄清它的单调性解析 设x10，当x0时有f(x)0，f(x2x1)0.又对任意实数x，y均有f(xy)f(x)f(y)，令xy0，则由f(0)f(0)f(0)得f(0)0；再令yx，则f(xx)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，即f(x)为奇函数 f(x2)f(x1)f(x2x1)0，f(x)为R上的增函数又f(2)f(11)2f(1)4，f(1)f(1)2，当x2,1时，f(x)4,2专题
3、四 思想方法总结1数形结合思想数形结合思想的基本思路：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的问题讨论例 6 当 x(1,2)时，不等式(x1)2logax 恒成立，试求底数 a 的取值范围.导学号 22840868分析 作出 y(x1)2 与 ylogax 在(1,2)上图象，利用数形结合思想进行求解解析 设 y(x1)2，ylogax.在同一坐标系中作出它们的图象，如右图所示若 0a1，则当 x(1,2)时，(x1)21，loga21，解得 1a2.所以，a 的取值范围为a|11和0a1 时
4、，若 f(x)g(x)，则af(x)ag(x)；(2)0ag(x)，则af(x)ag(x)a与1的大小关系(1)a1 时，f(x)g(x)；(2)0a1 时，f(x)1 时，若 x1x2，则logax1logax2；(2)0ax2，则logax1logag(x)a与1的大小关系(1)a1 时，f(x)g(x)0；(2)0a1 时，0f(x)0(a0，且a1)的 解集.导学号 22840869分析 本题考查函数性质的综合应用，利用奇偶性和单调性分析，对 a 进行讨论，求出解集解析 f(x)是偶函数，且 f(x)在0，)上是增函数，f(x)在(，0)上是减函数，f(12)0.故若 f(logax)
5、0，则有 logax12，或 logax1 时，由 logax12，或 logax a，或 0 x aa；(2)当 0a12，或 logax12，得 0 x aa.综上可知，当 a1 时，f(logax)0 的解集为(0，aa)(a，)；当 0a0 的解集为(0，a)(aa，)3转化与化归思想转化思想是在处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答，转化与化归思想的原则：化繁为简，化难为易，化生为熟例 8 设 aR，试讨论关于 x 的方程 lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根个数.导学号 22840870分析 本题
6、考查讨论方程的实根的个数，可转化为求函数图象的交点原方程等价于1x3，xa，x13xax.方程(x1)(3x)ax 的解满足 1x3，必满足 xa；反之若满足 xa，则必满足 1x3.于是问题转化为解方程(x1)(3x)ax，但 x(1,3)解析 原方程等价于x10，3x0，ax0，x13xax1x3，xa，x25x3a.在同一坐标系中分别作函数 ya 及 yx25x3，x(1,3)的图象，如图所示当 x1 时，y1；当 x3 时，y3；当 x52时，ymax134，由图象可知，(1)当 a134 或 a1 时，函数图象无交点，原方程无实数解；(2)当 a134 或 1a3 时，函数图象有一个
7、交点，故原方程有一个实数根；(3)当 3a134 时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实数根规律总结 将求方程解的问题转化为求对应函数图象交点问题，这种思想方法非常重要，尤其是方程等号两边为不同特征的函数时常用此法来解决专题四 函数与方程思想函数是描述客观世界变化规律的重要模型，运用函数思想解题，就是从研究变化趋势的角度打开思路，而方程思想则是动中求解，注意变化过程中不变的等量关系函数与方程思想在本章中的应用具体体现在以下几个方面：(1)利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象等解决数学问题(2)对含参问题的讨论可通过函数与方程的思想综合解决例 9 若，是方程 2(lgx)22l
8、gx30 的两个实数解，求.导学号 22840871分析 可令 tlgx，将其转化为一元二次方程根的问题解析 令 tlgx，则原方程变为 2t22t30，因为 t1t21，即 lglg1.所以 lg()1，所以 10.解后反思 本题在换元后充分利用一元二次方程的思想方法求解，解题时要区分、t1t2 的区别和联系例 10 设 a0，f(x)exa aex在 R 上满足 f(x)f(x).导学号 22840872(1)求 a 的值；(2)证明 f(x)在(0，)上是增函数分析 利用等式 f(x)f(x)恒成立确定 a 的值，利用单调性的定义证明函数 f(x)是增函数解析(1)依题意，对一切 xR，
9、有 f(x)f(x)，即exaaex 1aexaex.所以(a1a)(ex1ex)0 对一切 xR 成立，由此可得 a1a0，即 a21.又因为 a0，所以 a1.(2)证明：在(0，)上任取 x1x2，则f(x1)f(x2)ex1 1ex1(ex2 1ex2)(ex1ex2)1ex1 1ex2(ex2ex1)1ex1x2ex1x2.由 x2x10，得 x1x20，ex2ex10,1ex1x20.所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x)在(0，)上是增函数规律总结 要熟练掌握函数奇偶性的定义及单调性的证明步骤：设值、作差变形、定号、得结论，同时也必须有严密的推理逻辑，完整的解答过程即 时 巩
10、 固一、选择题1化简3 5234 的结果为 导学号 22840873()A5 B.5C 5D5答案 B解析 原式52334 5.2函数 yx13 的图象是 导学号 22840874()答案 B解析 显然代数表示式“f(x)f(x)”，说明函数是奇函数，同时由当 0 x1 时，x13 x，当 x1 时，x13 x，故选 B.3已知函数 f(x)2x，x0 x1，x0，若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值等于 导学号 22840875()A3B1C1D3答案 A解析 由题意知 f(1)212，f(a)f(1)0，f(a)20.当 a0 时，f(a)2a,2a20 无解；当 a0 时，f(a)a
11、1，a120，a3.4若函数 f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为 导学号 22840876()A.14B12C2D4答案 B解析 当 a1 时，aloga21a，loga21，a12(舍去)；当 0a1 时，1aloga2a，loga21，a12，故选 B.二、填空题5 2 3,312，log 52 三 个 数 中 最 大 的 数 是 _.导学号 22840877答案 log52解析 log52log422 3312 11823.6若函数 f(x)ax1 的图象经过点(4,2)，则函数 g(x)loga1x1的图象是_.导学号 22840878答案
12、 解析 将点(4,2)代入 f(x)ax1，得 2a41，解得 a2131.又函数 y 1x1在(1，)上单调递减，所以 g(x)单调递减且图象过点(0,0)，所以正确三、解答题7(2016河北衡水中学期末)已知函数 y2x2x 2x2的定义域为 M.导学号 22840879(1)求 M；(2)当 xM 时，求函数 f(x)2(log2x)2alog2x 的最大值解析(1)由题意知x2x20，2x20，x2.解得 1x2，故 Mx|1x2(2)f(x)2(log2x)2alog2x，令 tlog2x，t0,1，可得 g(t)2t2at，t0,1，其对称轴为直线 ta4，当a412，即 a2 时，g(t)maxg(1)2a，当a412，即 a2 时，g(t)maxg(0)0.综上可知，f(x)max2a，a2，0，a2.
