1、3.3空间向量运算的坐标表示1掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示(重点)2能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角(难点)教材整理1空间向量运算的坐标表示阅读教材P36P37例5以上的部分，完成下列问题1空间向量运算的坐标表示设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则：(1)ab(x1x2，y1y2，z1z2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和(2)ab(x1x2，y1y2，z1z2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差(3)a(x1，y1，z1)(R)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积(4)设a(x1，y1，z1)，b(x2
2、，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和2空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)1已知a(1,2，3)，b(5，7,8)，则2ab的坐标为()A(7，3,2)B(6，5,5)C(6，3,2)D(11，12,13)【解析】2ab2(1,2，3)(5，7,8)(2,4，6)(5，7,8)(7，3,2)【答案】A2在空间直角坐标系中，点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则_.【解析】(4,5,6)(1,2,3)(3,3,3)【答案】(3,3,
3、3)教材整理2空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示阅读教材P37例5以下P38练习以上的部分，完成下列问题设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(1)若b0，则aba bx1x2，y1y2，z1z2(R)；(2)abab0x1x2y1y2z1z20.|a|.cosa，b.(a0，b0)1已知a(1，5,6)，b(0,6,5)，则a与b()A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向【解析】ab030300，ab.【答案】A2与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标为()A(1,3,2)B(1，3,2)C(1,3，2)D(1，3，2)【解析】(1,3，2)(1，3,2)，(1,
4、3，2)与(1，3,2)平行【答案】C预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_空间向量的坐标运算(1)已知a(2，1,3)，b(1,2，1)，则ab_，2ab_.【自主解答】ab(21，12,31)(3,1,2)，2ab2(2，1,3)(1,2，1)(4，2,6)(1,2，1)(3，4,7)【答案】(3,1,2)(3，4,7)(2)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值为_【自主解答】ab，bk a，即k(1,0,2)(6,21,2)，2或3.【答案】 或 (3)已知a(1,0，1)，b(1，2,2)，c
5、(2,3，1)，则ab2c_.【导学号：32550032】【自主解答】ab2c(1,0，1)(1，2,2)2(2，3，1)(4,8，5)【答案】(4,8，5)数量积的坐标运算已知a(3,5，4)，b(2,1,8)，求(1)ab；(2)(2ab)(3ab)【精彩点拨】根据数量积的计算公式运算即可【自主解答】(1)ab3251(4)821.(2)2ab2(3,5，4)(2,1,8)(6,10，8)(2,1,8)(4,9，16)3ab3(3,5，4)(2,1,8)(9,15，12)(2,1,8)(11,16，4)(2ab)(3ab)411169(16)(4)252.空间向量数量积即将对应坐标乘积的求
6、和，牢记运算公式是正确计算的关键1本例条件不变，求(ab)(ab)【解】(ab)(ab)aabb(3,5，4)(3,5，4)(2,1,8)(2,1,8)92516(4164)19.利用坐标运算解决长度和夹角问题已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积【精彩点拨】根据平行四边形的面积S|sin (，)，所以必须求出|、|、sin 的大小【自主解答】(2,1,6)(0,2,3)(2，1，3)，(1，3,2)设，cos ，sin ，S|sin 7，即以，为邻边的平行四边形的面积为7.1空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解
7、这体现了向量的工具作用引入坐标运算，可使解题过程程序化2平行四边形面积的计算公式：SABCD.2已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)(1)求cosBAC；(2)求ABC中BC边上中线的长度【解】(1)a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)cosBAC.(2)设BC中点为D，则D点坐标为，又A(2,0,2)，|.即ABC中BC边上中线的长度为.坐标形式下的平行与垂直问题已知空间三点A(2,0,2)、B(1,1,2)、C(3,0,4)设a，b.【导学号：32550033】(1)设|c|3，c，求c；(2)若kab与ka
8、2b互相垂直，求k.【精彩点拨】利用向量平行与垂直的直角坐标表示运算即可【自主解答】(1)(2，1,2)且c，设c(2，2)|c|3|3.解得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0.即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题解决这种问题时要注意：适当引入参数参与运算；建立关于参数的方程；准确运算3设a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(ka
9、b)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.【解】(1)由于(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)，即kaba3b，由于a与b不共线，所以有解得k；(2)由于(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)0，即k|a|2(3k1)ab3|b|20，而|a|227，|b|238，ab8，所以27k8(3k1)1140，解得k.空间直角坐标系的特征探究1在建立空间直角坐标系时，空间向量的坐标运算与坐标原点的位置有关系吗？【提示】(1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其“线线夹角”、“点点距离”是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简(
10、2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系转化为坐标运算，一般按照右手系建系，如图所示探究2用坐标表示空间向量的一般步骤是什么？【提示】用坐标表示空间向量的一般步骤是：(1)观察图形、认识图形，并分析图形特征(2)建系找出三条两两垂直的直线作轴，建立空间直角坐标系(3)计算利用向量的线性运算用基底表示目标向量(4)结果根据线性运算表示不确定向量的坐标如图2313所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系过B作BMAC1于M，求点M的坐标图2313【精彩点拨】写出A，B，C1的坐标，设出M的坐标，利用条件BM
11、AC1及M在AC1上建立方程组，求解【自主解答】法一：设M(x，y，z)，由图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则(a，a，a)，(xa，y，z)，(xa，ya，z)，0，a(xa)a(ya)az0，即xyz0.又，xaa，ya，za，即xaa，ya，za.由得x，y，z.M.法二：设(a，a，a)，(0，a,0)(a，a，a)(a，aa，a)BMAC1，0即a2a2a2a20，解得，.M点坐标.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对空间任意的两个向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)若a与b共线，则.()(2)若a(x，y，z)则|a|x2y2z
12、2.()(3)若向量(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)()【解析】(1)若b0则不成立(2)|a|.(3)因需知A点坐标方可求点B坐标【答案】(1)(2)(3)2向量a(2,1，1)，b(3，2,1)，则下列结论正确的是()Aab(5，1,1)Bab(1，1,0)C2b(6，4,2)Dab9【解析】ab(5，1,0)，ab(1,3，2)，2b(6，4,2)，ab23(2)11(1)3.【答案】C3已知向量a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值为()A3B4C5D6【解析】ab312x5(1)2.x5.【答案】C4已知a(2，1,2)，b(0，1,4)，则ab_.3b_，ab_.【解析】ab(20，11,24)(2，2,6)3b3(0，1,4)(0，3,12)ab20(1)(1)249.【答案】(2，2,6)(0，3,12)95已知a(5,3,1)，b且a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围【导学号：32550034】【解】由已知得ab5(2)3t13t.因为a与b的夹角为钝角，所以ab0且a，b180.由ab0，得3t0，所以t.若a与b的夹角为180，则存在0，使ab(0)，即(5,3,1)，所以解得t.所以t的取值范围是.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
