1、章末分层突破 作差法综合法执果索因放缩法间接证明 比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系其主要步骤是：作差恒等变形判断差值的符号结论其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2.【规范解答】3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(ab)(3a22b2)ab0，ab0,3a22b22a22b20，从而(3a22b2)(ab)0，故3a32b33a2b2ab2成立1若a，b，c，则()AabcBcbaCcabD.bac【解析】a与b比较：a，b.98，ba，b与c比较：b，c.355
2、3，bc，a与c比较：a，c.3225，ac，bac，故选C.【答案】C综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用已知实数x，y，z不全为零，求证：(xyz)【规范解答】因为 x，同理可证：y，z.由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：(xyz)，所以有(xyz)2设a，b，c均为大于1的正数，且ab10.求证：l
3、ogaclogbc4lg c. 【导学号：32750044】【证明】由于a1，b1，故要证明logaclogbc4lg c，只要证明4lg c.又c1，故lg c0，所以只要证4，即4.因ab10，故lg alg b1，只要证明4.(*)由a1，b1，故lg a0，lg b0，所以0lg alg b，即(*)式成立所以，原不等式logaclogbc4lg c得证.反证法证明不等式若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明；若要证明不等式两边差异较大时，可考虑用放缩法进行过渡从而达到证明目的若a，b，c，x，y，z均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，求证：a，b，c中至
4、少有一个大于0.【规范解答】设a，b，c都不大于0，则a0，b0，c0，abc0，由题设知，abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc0，这与abc0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.3如图21，已知在ABC中，CAB90，D是BC的中点，求证：ADBC.图21【证明】假设ADBC.(1)若ADBC，由平面几何定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”，知A90，与题设矛盾，所以ADBC.(2)若ADBC，因为BDDCBC，所以在ABD中，ADBD，从而BBAD.同理CCAD.所以BCBADCAD，即BCA.因为BC180
5、A，所以180AA，即A90，与已知矛盾，故ADBC不成立由(1)(2)知ADBC成立.用放缩法证明不等式在证明不等式时，有时需要舍去或添加一些项，使不等式的一边放大或缩小，然后利用不等式的传递性，达到证明的目的运用放缩法证明的关键是放缩要适当，既不能太大，也不能太小已知a，b，c为三角形的三条边，求证：，也可以构成一个三角形【规范解答】设f(x)，x(0，)设0x10，f(x)在(0，)上为增函数a，b，c为三角形的三条边，于是abc，即，同理，0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.【答案】C2设a，b0，ab5，则的最大值为_【解析】令t，则t2a1
6、b32929a1b313ab13518，当且仅当a1b3时取等号，此时a，b.tmax3.【答案】33设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由【解】(1)证明：因为2an1an2d(n1,2,3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列(2)不存在，理由如下：令a1da，则a1，a2，a3，a4分别为ad，a，ad，a2d(ad，a
7、2d，d0)假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，则a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.令t，则1(1t)(1t)3，且(1t)6(12t)4，化简得t32t220(*)，且t2t1.将t2t1代入(*)式，得t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10，则t.显然t不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列(3)不存在，理由如下：假设存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列，则a(a12d)n2k(a1d)2(nk)，且(a1d)nk(a13d)n3k(a12d)2(n2k)，分
8、别在两个等式的两边同除以a及a，并令t，则(12t)n2k(1t)2(nk)，且(1t)nk(13t)n3k(12t)2(n2k)将上述两个等式两边取对数，得(n2k)ln(12t)2(nk)ln(1t)，且(nk)ln(1t)(n3k)ln(13t)2(n2k)ln(12t)化简得2kn，且3kn再将这两式相除，化简得ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)4ln(13t)ln(1t)(*)令g(t)4ln(13t)ln(1t)ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)，则g(t).令(t)(13t)2ln(13t)3(12t)2ln(12t)3(1t)2ln(
9、1t)，则(t)6令1(t)(t)，则1(t)6令2(t)1(t)，则2(t)0.由g(0)(0)1(0)2(0)0，2(t)0，知2(t)，1(t)，(t)，g(t)在和(0，)上均单调故g(t)只有唯一零点t0，即方程(*)只有唯一解t0，故假设不成立所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列4已知a0，函数f(x)eaxsin x(x0，)记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点证明：(1)数列f(xn)是等比数列；(2)若a，则对一切nN*，xn|f(xn)|恒成立【证明】(1)f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x
10、)eaxsin(x)其中tan ，0.令f(x)0，由x0得xm，即xm，mN*.对kN，若2kx(2k1)，即2kx0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，则f(x)0.因此，在区间(m1)，m)与(m，m)上，f(x)的符号总相反于是当xm(mN*)时，f(x)取得极值，所以xnn(nN*)此时，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常数，故数列f(xn)是首项为f(x1)ea()sin ，公比为ea的等比数列(2)由(1)知，sin ，于是对一切nN*，xn|f(xn)|恒成立，即nea(n)恒成立，等价于0)设g(t)(t0)，则g(t).令g(t)0得t1.当0t1时，g(t)1时，g(t)0，所以g(t)在区间(1，)上单调递增从而当t1时，函数g(t)取得最小值g(1)e.因此，要使(*)式恒成立，只需.而当a时，由tan 且0知，.于是.因此对一切nN*，axn1，所以g(axn)g(1)e.故(*)式亦恒成立综上所述，若a，则对一切nN*，xn|f(xn)|恒成立
