1、导数及其应用第1讲导数及导数的计算分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1 B2 Ce D.解析由题意知yex，故所求切线斜率kex|x01.答案A2(2022合肥模拟)函数yx2cos x在x1处的导数是()A0 B2cos 1sin 1Ccos 1sin 1 D1解析y2xcos xx2sin x，当x1时，y2cos 1sin 1.答案B3(2022青岛一模)设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1 B. C2 D2解析y，y|x1，由条件知1，a1，故选A.答案A4(20
2、22广州模拟)已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()A. B2 C2 D解析设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率为ky|xt3t2a，所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt)将点(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解之得：t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka，由题意得它们互为相反数得a.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5设直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为_解析由已知条件可得直线的斜率k，y(ln x)，得切点的横坐标为
3、x2，切点坐标为(2，ln 2)由点(2，ln 2)在切线yxb上可得bln 22ln 21.答案ln 216(2022金华十校联考)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_解析由yx310x3，得y3x210.曲线C在点P处的切线的斜率为2，令y3x2102，得x24，因为点P在第二象限，x2，又点P在曲线C上，y820315，则点P的坐标为(2,15)答案(2,15)三、解答题(共25分)7(12分)如图所示，已知A(-1,2)为抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a
4、(a-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求ABD的面积S.解(1)由条件知点A(-1,2)为直线l1与抛物线C的切点，y=4x，直线l1的斜率k=-4，所以直线l1的方程为y-2=-4(x+1)，即4x+y+2=0.(2)点A的坐标为(-1,2)，由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，点D的坐标为(a，-4a-2)，ABD的面积为S|2a2(4a2)|1a|(a1)3|(a1)3.8(13分)已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲
5、线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y(6)13(x2)，即13xy320.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则
6、f(x0)3x14，x01，或所以切线方程为y(14)4(x1)或y(18)4(x1)即4xy180或4xy140.分层B级创新能力提升1设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn(x)fn1(x)，nN*，则f2 013(x)等于()Asin x Bsin x Ccos x Dcos x解析f1(x)f0(x)cos x，f2(x)f1(x)sin x，f3(x)f2(x)cos x，f4(x)f3(x)sin x，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2 013(x)cos x.答案C2(2022豫东、豫北十所名校测试)在函数yx39x的图象上，满足在该点
7、处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是()A0 B1 C2 D3解析依题意得，y3x29，令0y1，得3x2，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数yx39x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.答案A3设函数f(x)x3x2tan ，其中，则导数f(1)的取值范围是_解析f(x)sin x2cos x，f(1)sin cos 2sin，sin，f(1)，2答案，24(2022湖南十二校联考)设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2x3x2 013的值为_解析y(n1)xn，曲线在点(
8、1,1)处的切线斜率kn1，切线方程为y1(n1)(x1)，即y(n1)xn，令y0，得xn，x1x2x3x2 013.答案5(2022佛山调研)已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1,2内至少存在一个实数x，使得f(x)x，设g(x)x(1x2)，g(x)1，1x2，g(x)，即实数a的取值范围是.6设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值(1)解方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f(x)1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(x0)(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，此定值为6.
