1、第四章 三角函数、平面向量与复数 1三角函数2平面向量 3.复数第 17 讲 任意角的三角函数、同角公式与诱导公式【学习目标】1了解任意角的概念，弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化2理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义3掌握同角三角函数的基本公式4掌握正弦、余弦的诱导公式【基础检测】1tan 3 的值()A大于 0 B小于 0C等于 0 D不存在B【解析】2 3，角的终边在第二象限，由三角函数的定义可知 tan 30.2已知 sin52 15，那么 cos 等于()A25 B15C.15D.25【解析】由 sin52 15sin2 15cos 15.C3 已 知 角(00，cos23
2、 cos x 成立的 x 的取值范围是(2)已知 sin sin ，那么下列命题成立的是()A若、是第一象限的角，则 cos cos B若、是第二象限的角，则 tan tan C若、是第三象限的角，则 cos cos D若、是第四象限的角，则 tan tan 4，54D【解析】(1)由三角函数定义结合三角函数线知，在(0，2)内，使 sin xcos x 成立的 x 的取值范围为4，54.(2)画出单位圆及角，的正弦线，余弦线、正切线 由图知，sin MPNQsin，cos OMMPsin，tan AT2NQsin，cos OMNQsin，tan AT1AT2tan，故选 D.二、利用诱导公式
3、化简求值例2(1)化简：sin（）cos（）tan（2）sin2 cos2 得()Asin Btan Ccos Dcos(2)已知 sin3 13，则 cos56 (3)sin（k）cos（k）sin（k1）cos（k1）(kZ)B13【解析】(1)原式sin（cos）（tan）cos（sin）tan.(2)由题意，得 cos56 cos2 3 sin3 13.(3)若 k 为偶数，则原式sin（）cos sin（）cos（）sin cos（sin）（cos）1；若 k 为奇数，则原式sin（）cos（）sin cos（）sin（cos）sin cos 1.【点评】(1)在使用诱导公式时，可以
4、为任意角，并不一定要为锐角；重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，求任意角的三角函数值都可以通过诱导公式化为锐角三角函数求值具体步骤：“化负角为正角正角化锐角求值”(2)(3)常见的题型 求值：已知一个角的某个三角函数值，求这个角的其他三角函数值 化简：要求是能求值则求值，次数，种类尽量少，尽量化去根式，尽量不含分母三、利用同角三角函数公式化简、求值例3已知 sin 2cos 0，求：(1)cos sin cos sin 的值；(2)2sin2 sin cos cos2 的值【解析】sin 2cos 0，tan 2.(1)原式1tan 1tan 1 21 232 2.(2)原式2sin2s
5、in cos cos2sin2cos22tan2tan 1tan214 2135 23.【点评】形如 asin bcos 和 asin2bsin cos ccos2的式子分别称为关于 sin，cos 的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用四、运用“sin cos”与“sin cos”的关系求值例4已知 sin 和 cos 是方程 x2 mx1m0的两个根，求实数 和 m 的值【解析】sin cos m，sin cos 1m，由平方得 2sin cos m1.由，得1mm12.即 m2m20.解得 m1 或 m2.因为 m0，所以应取 m2.当 m2 时
6、(m)24m0，因此，m2 符合条件 将 m2 代入得，sin cos 2，变形得 2sin4 2，即 sin4 1.由此得，4 2k2，即 2k4(kZ)因此，所求的满足条件的 m 和 的值分别是 m2，2k4(kZ)或由 sin cos 2，sin cos 12得sin cos 0，sin cos 22，2k4(kZ)备选题例5是否存在角，2，2，(0，)，使等式 sin(3)2cos2 ，3cos()2cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由【解 析】假 设 存 在 角 ，满 足 条 件，则sin 2sin，3cos 2cos，由22 得 sin23cos22，cos
7、212，又 2，2，cos 22，即 4 或4.当 4 时，cos 32，又(0，)，6，当4 时，cos 32，6，此时式不成立，舍去 存在 4，6 满足条件【点评】(1)当角的象限不确定时，要分类讨论.(2)已知三角函数值求角时，要注意角的范围1化简过程中，利用同角三角函数的关系可将不同名的三角函数化成同名三角函数2运用诱导公式，可将任意角的求值问题转化成锐角的求值问题3注意“1”的作用，如 1sin2 cos2 等4化简三角函数式时，要注意观察式子的特征，如关于 sin ，cos 的齐次式可转化为 tan 的式子5解题时要充分挖掘题目条件中隐含的条件，尽可能缩小角的范围(2014 全国大
8、纲)已知角 的终边经过点(4，3)，则 cos ()A.45B.35C35 D45【解析】直接利用任意角的三角函数的定义求解 因为角 的终边经过点(4，3)，所以 x4，y3，r5，所以 cos xr45.D【点评】在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r 一定为正值1cos(2 010)()A.32 B 32C.12D12B【解 析】cos(2 010 )cos 2 010 cos(5360210)cos 210cos(18030)cos 30 32.2.12sin 2cos 2等于()Asin 2cos 2 Bcos 2sin 2
9、C(sin 2cos 2)Dsin 2cos 2A【解析】sin 20，cos 20，因此 是第一、三象限角，而 A、C、D 的取值范围中皆含有第二象限角，故排除 A、C、D.6若 sin(3)2cos32 ，3cos 2cos(3)，且 02，02，则 和 的值分别为4，6【解析】由已知条件得，sin 2sin，3cos 2cos，将 sin 2sin，3cos 2cos，两式分别平方相加得，sin23cos22(sin2cos2)2，即 sin23(1sin2)2，所以 sin212，即 sin 22.因为 02，所以 sin 22，所以 4.因为 sin 2sin，所以 sin 12.又
10、 02，所以 6.7已知角 终边经过点 P(x，2)(x0)，且 cos 36 x，则 sin 1tan .【解析】利用三角函数定义求得三角函数值 sin，再求其他三角函数值 P(x，2)(x0)，点 P 到原点的距离 rx22，又 cos 36 x，cos xx22 36 x.x0，x 10，r2 3.当 x 10时，P 点坐标为(10，2)，由三角函数的定义，有 sin 66，1tan 5，6 5 66或6 5 66sin 1tan 66 56 5 66；当 x 10时，同理可求得 sin 1tan 6 5 66.【点评】已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，
11、然后用三角函数的定义求解 已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，然后用三角函数的定义来求相关问题 终边上的点的坐标值可正、可负，也可以为零，但距离恒为正如果坐标或距离是含参数的式子，注意对参数的正负进行讨论8已知 sin 2cos ，求下列各式的值(1)4sin 2cos 5cos 3sin ；(2)sin2 2sin cos 5cos2.【解析】解法一：(1)原式8cos 2cos 5cos 6cos 10.(2)sin2cos21sin 2cos，得 5cos21，则原式4cos24cos25cos25cos21.解法二：由 sin 2cos，得 tan 2.(1)4s
12、in 2cos 5cos 3sin 4tan 253tan 4（2）253（2）10.(2)sin2 2sin cos 5cos2 sin22sin cos 5cos2sin2cos2tan22tan 5tan21（2）22（2）5（2）211.9已知 sin 1010，求 tan()cos(7)sin2 sin（3）cos（）cos2 的值【解 析】tan()cos(7 )sin2 sin（3）cos（）cos2 tan()cos()cos sin（cos）sin sin()cos2 sin cos2.又 sin 1010，cos21 110 910.sin cos2 1010 9109 1010.10已知(0，2)且 sin ，cos 是方程 x2mxm10 的两个实根，求 m 和 的值【解 析】由 根 与 系 数 的 关 系 得sin cos msin cos m1，式平方得 12sin cos m2，将代入并整理得 m22m30，解得 m3 或 m1.当 m3 时，sin cos 4 不合题意，舍去；当 m1 时，有sin cos 1sin cos 0，解得sin 0cos 1或sin 1cos 0，(0，2)，或32.综上可知：m1，或32.
