1、2.3 幂函数内 容 标 准学 科 素 养1.通过实例，了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数2.结合函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象，了解它们的变化情况3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较.应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 幂函数的概念预习教材P77，思考并完成以下问题教材 P77 的 5 个问题中的函数有什么共同特征？提示：问题中涉及到的函数，都是形如 yx 的函数，其中 x 是自变量，是常数 知识梳理 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数知识点二 幂函数的图象与性质
2、预习教材P7778，思考并完成以下问题(1)在同一坐标系中，试作出幂函数 yx，y，yx2，yx3，yx1 的图象yxx提示：如图所示：(2)在第一象限，图象有何特点？(3)这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？提示：都过点(1,1)；只有 yx1 随 x 增大而减小，但不与 x 轴相交，其他的都随 x 增大而增大提示：yx，yx3，yx1 是奇函数；yx2 是偶函数；y非奇非偶函数 知识梳理 幂函数yxyx2yx3yyx1定义域值域y|yR 且 y0奇偶性R R R R R 0，)(，0)(0，)0，)0，)奇奇奇偶非奇非偶幂函数yxyx2yx3yyx1单调性x0，)
3、，x(，0，x(0，)，x(，0)，公共点都经过点增增增增减减减(1,1)自我检测1下列函数中，不是幂函数的是()Ay2x Byx1Cy xDyx2解析：由幂函数定义知 y2x不是幂函数，而是指数函数答案：A2函数 yx3 的图象关于_对称解析：函数 yx3 为奇函数，其图象关于原点对称答案：原点探究一 幂函数的概念例 1(1)下列函数为幂函数的是()Ay2x31 By2xCy 1x2Dy2x2(2)若函数 y(m2m1)x5m3 为幂函数，则 m_.解析(1)幂函数的表达式 yx(R)的要求比较严格，系数是 1，底数是 x，R 为常数，选项 A、B、D 都是幂函数类型的函数，选项 C 中 y
4、x2 是幂函数(2)令 m2m11，m2 或 m1.当 m2 时，函数 yx13，当 m1 时，函数 yx2，都是幂函数答案(1)C(2)2 或1方法技巧 判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.跟踪探究 1.函数 f(x)(m2m1)xm2m3 是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式解析：根据幂函数的定义得m2m11.解得 m2 或 m1.当 m2 时，f(x)x3 在(0，)上是增函数；当 m1 时，f(x)
5、x3在(0，)上是减函数，不符合要求故 f(x)x3.探究二 幂函数的图象例 2 如图所示，图中的曲线是幂函数 yxn 在第一象限的图象，已知 n 取2，12四个值，则相应于 c1，c2，c3，c4 的 n 依次为()A2，12，12，B2，12，12，2C12，2,2，12D2，12，2，12解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性注意当 n0 时，对于 yxn，n 越大，yxn 增幅越快，n0 时看|n|的大小根据幂函数 yxn 的性质，在第一象限内的图象当 n0 时，n 越大，yxn 递增速度越快，故 c1 的 n2，c2 的 n12，当 n0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3 的
6、n12，曲线 c4 的 n2，故选 B.答案 B方法技巧 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离 x轴(简记为指大图高)(2)依据图象确定幂指数 与 0,1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于 yx1 或 yyx3)来判断跟踪探究 2.如图是幂函数 yxm 与 yxn 在第一象限内的图象，则()A1n0m1 Bn1,0m1C1n0，m1 Dn1，m1解析：在(0,1)内取同一值 x0，作直线 xx0，与各图象有交点，如图所示根据
7、点低指数大，有 0m1，n1.答案：B探究三 幂函数性质的综合应用例 3(1)比较下列各组中幂值的大小30.8,30.7；0.213,0.233；，1.1.(2)探讨函数 f(x)的单调性.解析(1)函数 y3x 是增函数，且 0.80.7，30.830.7.函数 yx3是增函数，且 0.210.23，0.21313，.1.2109 1.1，且 yx12在0，)上单调递增，(2)f(x)的定义域为(0，)任取 x1，x2(0，)，且 x1x10，所以 x1x20，于是 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)0，32a0，a132a，解得23a13，所以250.5130.5.(2)因为幂函数 y
8、x1 在(，0)上是单调递减的，又23351.(3)因为函数 y123x 为 R 上的减函数，又3423，所以.又因为函数 y2x23在(0，)上是增函数，且3423，所以，所以.方法技巧 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小课后小结1幂函数 yx(R)，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准幂函数与指数函数形同而实异，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数的自变量在指数位置上2已知幂函数
9、的图象和性质求解析式时，常用待定系数法3幂函数 yx 在第一象限的图象特征当 1 时，图象过点(0,0)，(1,1)，递增，如 yx2；当 01 时，图象过点(0,0)，(1,1)，递增，如 y；当 0 时，图象过点(1,1)，递减，且以两坐标轴为渐近线，如 yx1，y等4比较大小若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；若指数与底数都不同，则考虑插入中间数素养培优幂函数的性质及应用已知幂函数 yx3m9(mN)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上函数值随 x 的增大而减小，求满足(a1)m3(32a)m3的 a 的取值范围思路探究：(1)先由 f(x)在(0
10、，)的单调性，求出参数 m 的取值范围，再由 f(x)的奇偶性舍根，然后借助幂函数 yx 的单调性解不等式(2)由 f(x1)f(x2)得 x1 与 x2 的大小关系时，如果 f(x)的单调区间不止一个，那么需要对 x1，x2 的范围进行讨论这时可借助函数 yf(x)的图象，直观地进行分析，得出结果解析：函数 yx3m9 在(0，)上单调递减，3m90，解得 m3.又 mN，m1,2.又函数图象关于 y 轴对称，3m9 为偶数，故 m1.有.又y在(，0)，(0，)均是减函数，但是在整个定义域内不单调分类讨论如下：(1)当 a1032a，即 a1 时，有；(2)当 a10,32a32a，即 a 满足a10，2a32a，此时无解.(3)当 a10,32a0 时，由，得 a132a.即 a 满足a10，2a0，a132a，解得23a32.综上所述，a 的取值范围是(，1)23，32.04课时 跟踪训练
