1、第7讲 二次函数 第7讲 二次函数 1函数_叫做一次函数，它的定义域为_，值域为_，图象是_2一次函数ykxb中，k叫做直线的_，k_(其中(x1，y1)，(x2，y2)为直线ykxb上的任意两点)，函数值的改变量y与自变量的改变量x成_3当k0时，函数ykxb是_函数，k0时，函数ykxb是_函数4当b0时，一次函数变为_，是_函数，b0时，它_5直线ykxb(k0)与x轴的交点为_，与y轴的交点为_6二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：_；(2)顶点式：_；(3)两根式：_.知识梳理 第7讲 知识梳理 f(x)ax2bxc(a0)f(x)a(xm)2n(a0)f(x)a(xx1)(xx
2、2)(a0)yxy2y1x2x1ykxbRR直线斜率正比增减正比例函数奇既不是奇函数也不是偶函数bk，0(0，b)知识梳理 第7讲 知识梳理 递减递增递增递减|x1x2|7二次函数 f(x)ax2bxc(a0)配方法的步骤f(x)_ _ ax b2a24acb24a.二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为_，顶点坐标是_；当 a0 时，开口向上，当 a0 时，开口向下8二次函数的单调性及最值(1)当 a0 时，函数在，b2a 上_，在 b2a，上_，并且当 x b2a时，f(x)min_.(2)当 a0 时，函数在，b2a 上_，在 b2a，上_，当 x b2a
3、时，f(x)max_.9根与系数的关系二次函数 f(x)ax2bxc(a0)，当 b24ac0 时，图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0)，这里的 x1，x2 是方程 f(x)0 的两根，则根与系数的关系是_弦长|M1M2|_ _|a|.4acb24a4acb24ax1x2ba，x1x2caax b2a2b24ac ax2bax c b2a，4acb24ax b2a知识梳理 第7讲 知识梳理 f(q)f(p)10二次函数在闭区间上的最值若a0，二次函数f(x)在闭区间p，q上的最大值为M，最小值为N.令x012(pq)，(1)若 b2ap，则M_，N_；(2)若 b2aq
4、，则M_，N_；(3)若p b2ax0，则M_，N_；(4)若x0 b2aq，则M_，N_.11一元二次不等式的解集与二次方程ax2bxc0的根的关系(1)若a0，方程ax2bxc0有两个不等的实根x1，x2(x10的解集为_；不等式ax2bxc0，方程ax2bxc0有两个相等的实根x0，则不等式ax2bxc0，方程ax2bxc0无实根，则不等式ax2bxc0的解集为_；不等式ax2bxc0的解集为_f(p)f(q)f(q)f b2af(p)f b2ax|xx2 x|x1xx2R要点探究 探究点1 一次函数的图象与性质第7讲 要点探究 思路 由一次函数图象知，直线与x轴有一个交点，即方程2mx
5、40在2,1上有实根例1 已知函数f(x)2mx4，若在2,1上存在x0，使得f(x0)0，求实数m的取值范围解答 由题知，f(2)f(1)0，即(4m4)(2m4)0，m2或m1.第7讲 要点探究 关于x的方程ax1|x|有两个不同的实根，求实数a的取值范围解答 设f(x)ax1，g(x)|x|，问题转化为f(x)的图象与g(x)的图象有两个不同交点时a的取值范围画出g(x)|x|的图象，如图所示f(x)ax1表示过定点(0,1)，斜率为a的直线由图象可知，1a1.思路 yax1与y|x|的图象容易画出，故可考虑数形结合，将方程根的问题转化为两个函数图象的交点的问题第7讲 要点探究 要点探究
6、 探究点2 求二次函数的解析式第7讲 要点探究 思路 已知函数类型，利用待定系数法求解例2 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式第7讲 要点探究 解法一：用一般式求解设 f(x)ax2bxc(a0)，由题意可得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7，f(x)4x24x7.解法二：用顶点式求解设 f(x)a(xh)2k，f(2)f(1)1，h212 12，又 f(x)的最大值为 8，因此 f(x)ax1228，f(2)9a4 81，解得 a4，f(x)4x24x7.解法三：用两根式求解f(2)f(1)1，2，1
7、是方程 f(x)10 的两根，因此设 f(x)1a(x2)(x1)，即 f(x)ax2ax2a1，f(x)的最大值为 8，4a2a1a24a8，解得a4，f(x)4x24x7.第7讲 要点探究 (1)已知函数f(x)2x2bxc，当3x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，则b_，c_.答案 2 12解析由题意可知，3,2是函数f(x)的两个零点，f(x)2x2bxc2(x3)(x2)2x22x12，b2，c12.第7讲 要点探究(2)二次函数f(x)，对任意的x都有f(x)f(1)2恒成立，且f(0)1，则f(x)_.答案 3x26x1 解析由题意可知，f(x)在x1处有最小值2，因此设f
8、(x)a(x1)22，又f(0)a21，得a3，f(x)3(x1)223x26x1.第7讲 要点探究(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(x1)2f(x1)x22x17，则f(x)_.答案 x24x28 解析设f(x)ax2bxc，则f(x1)2f(x1)ax2(2ab)x(abc)2 ax2(2ab)x(abc)ax2(6ab)x(a3bc)，又f(x1)2f(x1)x22x17，a1，6ab2，a3bc17，解得a1，b4，c28，f(x)x24x28.探究点3 二次函数在闭区间上的最值例3 试求二次函数f(x)x22ax3在区间1,2上的最小值第7讲 要点探究 思路二次函数图象的对称轴
9、为xa，要求函数在区间1,2上的最小值就需要看对称轴与1,2的位置关系，为此需结合二次函数的图象对a进行分类讨论第7讲 要点探究 解答 f(x)x22ax3(xa)23a2.当a1时，函数在区间1,2上为增函数，故此时最小值为f(1)2a4；当1a2，即2a1时，函数的最小值为f(a)a23；当a2，即a2时，函数在区间1,2上为减函数，此时最小值为f(2)4a7.综上可知，当a1时，最小值为2a4.第7讲 要点探究 已知函数f(x)x22ax1a在0 x1上有最大值2，求a的值思路 f(x)配方后，得对称轴xa是变动的，要区分对称轴xa在区间0,1内和外，确定f(x)的最大值，从而建立方程解
10、出a.解答 f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，0 x1，当0a1时，f(x)maxf(a)a2a1，a2a12，解得a1 52.0a1，a1 52舍去；当a1时，f(x)maxf(1)a21成立；当a0时，f(x)maxf(0)1a，1a2，a10成立综上可得a1或a2.探究点4 二次函数的综合应用第7讲 要点探究 思路 利用分类讨论思路，将函数转化为分段函数求解例4 已知函数f(x)ax2|x|2a1(a为实常数)(1)若a1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间1,2上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式解答(1)当 a1 时，f(x)x2|x|1x2x1，x0，x2x1
11、，x0.函数图像如下图所示：第7讲 要点探究(2)当 x1,2时，f(x)ax2x2a1.若 a0，则 f(x)x1 在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)3；若 a0，则 f(x)ax 12a22a 14a1，f(x)图像的对称轴是直线 x 12a.当 a0 时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3；当 0 12a12时，f(x)在区间1,2上是增函数，g(a)f(1)3a2；当 1 12a2，即14a12时，g(a)f12a 2a 14a1；当 12a2，即 0a14时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3，综上可得 g(a)6a3，a12.第7讲 要
12、点探究 第7讲 要点探究 设函数f(x)x2|2xa|(xR，a为实数)(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a2，求函数f(x)的最小值思路 (1)利用函数奇偶性的定义得到a满足的关系式；(2)利用分段函数的最值的求解方法解决第7讲 要点探究 解答(1)由已知 f(x)f(x)，即|2xa|2xa|，解得 a0.(2)f(x)x22xa，x12a，x22xa，x2，x12a，得 x1，从而 x1，故 f(x)在 x12a 时单调递增，f(x)的最小值为 fa2 a24；当 x12a 时，f(x)x22xa(x1)2(a1)，故当 1xa2时，f(x)单调递增，当 x0，知 f(x)的最小值为 a1.规律总结 第7讲 规律总结 1对于一次函数，关键是应用其图象是直线进行数形结合，明确其单调性2二次函数、一元二次不等式和一元二次方程(统称二次型)是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行转化，是准确迅速解决此类问题的关键
