1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）AiB1+iCiD1i2已知集合M=x|x2|1，N=x|y=，则MN（）A（1，2）B（1，2C（2，3）D2，3）3已知函数y=f（x）x是偶函数，且f（2）=1，则f（2）=（）A3B1C1D24若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y22x=0相切，则a的值为（）A1，1B2，2C1D15四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的
2、长度是（）AB5CD26将奇函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为（）A2B3C4D67已知函数f（x）=x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）ABCD8设、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是（）A，=l，mlB=m，C，mDn，n，m9在ABC内随机取一点P，使=x+y，则x在的条件下y的概率（）ABCD10如图，F1、F2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A4BCD二、填空题：本大题
3、共5小题，每小题5分，共25分.11设随机变量 N（，2），且 P（1）=P（1），P（2）=0.3，则P（20）=12执行如图所示的程序框图，则输出S的值为13m=sintdt则的展开式的常数项为14已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（1，0），由此推测，函数的图象的对称中心为15一位数学老师希望找到一个函数y=f（x），其导函数f（x）=lnx，请您帮助他找一个这样的函数（写出表达式即可，不需写定义域）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满
4、足+tan=（）求角C的大小；（）已知ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积17某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）18如图，四棱锥中PABCD中
5、，底面ABCD是直角梯形，ABCD，DAB=60，AB=AD=2CD，侧面PAD底面ABCD，且PAD为等腰直角三角形，APD=90（）求证：ADPB；（）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值19设数列an的前项和为Sn，且是等差数列，已知a1=1， +=6，（）求数列an的通项公式；（）若bn=+，数列bn的前项和为Tn，求证：Tn2n+20已知O为坐标原点，焦点为F的抛物线E：x2=2py（p0）上不同两点A、B均在第一象限B点关于y轴的对称点为C，OFA的外接圆圆心为Q，且=（1）求抛物线E的标准方程；（2）两不同点A、B均在第一象限内，B点关于y轴的对称点为C，设直线OA、OB
6、的倾角分别为、，且+=证明：直线AC过定点；若A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，求ABC的外接圆方程21已知函数f（x）=（x23x+3）ex的定义域为2，t，设f（2）=m，f（t）=n（）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数；（）求证：mn；（）若不等式+7x2k（xlnx1）（k为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明lnx（解答过程可参考使用以下数据ln71.95，ln82.08）2015-2016学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
7、符合题目要求的.1已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）AiB1+iCiD1i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数z=i，则z的共轭复数i故选：A2已知集合M=x|x2|1，N=x|y=，则MN（）A（1，2）B（1，2C（2，3）D2，3）【考点】交集及其运算【分析】求出M中绝对值不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可【解答】解：由M中不等式变形得：1x21，解得：1x3，即M=（1，3），由N中y=，得到42x0，即2x4=22，解得：x2，即N=（，2，则MN=（1，2，
8、故选：B3已知函数y=f（x）x是偶函数，且f（2）=1，则f（2）=（）A3B1C1D2【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数为偶函数，则f（2）（2）=f（2）2，结合已知，即可解出f（2）的值【解答】解：令g（x）=f（x）x由题意知g（2）=g（2），即f（2）2=f（2）+2，又f（2）=1，所以f（2）=3故选：A4若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y22x=0相切，则a的值为（）A1，1B2，2C1D1【考点】圆的切线方程【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值【解答】解：圆x2+y22x=0 即 （x1）2+y2=
9、1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，再根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离d=1，求得a=1，故选：D5四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）AB5CD2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可【解答】解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为： =故选：A6将奇函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点
10、对称，则的值可以为（）A2B3C4D6【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的对称性【分析】函数是奇函数，求出，通过函数图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，求出函数的周期，然后求出的值，即可得到选项【解答】解：奇函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，）所以=0；函数的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，所以T=，T=，=6，故选D7已知函数f（x）=x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f（x）=xsinx，由奇函数的定义得函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称
11、，排除BD，取x=代入f（）=sin=10，排除C，只有A适合【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，f（x）=xsinx，f（x）=f（x），故f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f（）=sin=10，排除C，只有A适合，故选：A8设、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是（）A，=l，mlB=m，C，mDn，n，m【考点】直线与平面垂直的判定【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面与平面的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确【解答】解：，=l，
12、ml，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m，故不正确；=m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；，m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；n，n，而m，则m，故正确故选D9在ABC内随机取一点P，使=x+y，则x在的条件下y的概率（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据题意，把问题转化为求二元一次不等式组表示的平面区域问题，根据区域面积的比值求概率的应用问题，即可求出对应的概率【解答】解：ABC内随机取一点P，使=x+y，则0x+y1；又x，则由所围成的区域面积为S=12=；由所围成的区域面积为S1=，所以，所求的概率为P=故选：C10如图，F1、F2是双
13、曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A4BCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的定义，可得F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求【解答】解：因为ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在F1BF2中应用余弦定理得：4c2
14、=4a2+16a222a4acos120，得c2=7a2，则故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11设随机变量 N（，2），且 P（1）=P（1），P（2）=0.3，则P（20）=0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布的性质求解【解答】解：因为P（1）=P（1），所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为P（2）=0.3，所以P（20）=故答案为：0.212执行如图所示的程序框图，则输出S的值为【考点】程序框图【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=
15、0，k=0满足条件k6，k=2，s=满足条件k6，k=4，s=满足条件k6，k=6，s=+不满足条件k6，退出循环，输出s=+=故答案为：13m=sintdt则的展开式的常数项为【考点】定积分；二项式系数的性质【分析】首先通过定积分求出m，然后利用二项式定理求常数项【解答】解：因为m=sintdt=（cost）|=2，则=的展开式的常数项为=；故答案为：14已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（1，0），由此推测，函数的图象的对称中心为【考点】归纳推理【分析】题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，1，即0，此数列通项公式易求【解答】解：题中
16、所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，1，即0，由此推测，函数的图象的对称中心为故答案为：15一位数学老师希望找到一个函数y=f（x），其导函数f（x）=lnx，请您帮助他找一个这样的函数f（x）=xlnxx+c，c是常数（写出表达式即可，不需写定义域）【考点】导数的运算【分析】根据导数的关系进行求解即可【解答】解：当f（x）=xlnxx+c时，f（x）=lnx，故答案为：f（x）=xlnxx+c，c是常数三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足+tan=（）求角C的大小；（）已知ABC不是
17、钝角三角形，且c=2，sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】（I）利用同角三角函数基本关系式即可得出；（II）利用和差公式可得：sinBcosA=2sinAcosA，对A分类讨论，利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（）由+tan=，+=，=，sinC=又C（0，），C=或C=（）由题意得sinC+sin（BA）=2sin2A，sin（B+A）+sin（BA）=2sin2A，2sinBcosA=22sinAcosA，当cosA=0时，A=，C=，B=由正弦定理可得：，b=2，SABC=2当cosA0时，
18、得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，由题意，C=，c=2，c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab=3a2=12，解得a=2，b=4，SABC=217某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望
19、E（x）【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）P（A1）=（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（
20、B0）=P（X=10）=P（A2）P（B1）=P（X=0）=1=X的分布列为x01050200PEX=4元18如图，四棱锥中PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，DAB=60，AB=AD=2CD，侧面PAD底面ABCD，且PAD为等腰直角三角形，APD=90（）求证：ADPB；（）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法【分析】（）取AD的中点G，连结PG、GB、BD，推导出PGAD，ABD是正三角形，BGAD，由此能证明ADPB（）以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Gxyz利用向量法能求出平面PAD与平面PB
21、C所成锐二面角的余弦值【解答】（本小题满分12分）证明：（）取AD的中点G，连结PG、GB、BDPA=PD，PGAD，AB=AD，且DAB=60，ABD是正三角形，BGAD，又PGBG=G，AD平面PGBADPB 解：（）侧面PAD底面ABCD，又PGAD，PG底面ABCDPGBG直线GA、GB、GP两两互相垂直，故以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz设PG=a，则P（0，0，a），A（a，0，0），B（0，0），D（a，0，0），C（，0）=（，0）=（0，a），设=（x0，y0，z0）是平面PBC的法向量，则，取y0=，得=（1，3
22、） 又平面PAD的法向量=，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为，则cos=，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为19设数列an的前项和为Sn，且是等差数列，已知a1=1， +=6，（）求数列an的通项公式；（）若bn=+，数列bn的前项和为Tn，求证：Tn2n+【考点】数列的求和；等差关系的确定【分析】（I）利用等差数列的通项公式、递推关系即可得出；（II）bn=+=+1+=2+，利用“裂项求和”即可得出【解答】（）解：是等差数列，设公差为d，a1=1， +=6，=6，=2，2=1+2d，解得d=1+=，Sn=当n2时，an=SnSn1=n当n=1时也成立，an=n（）证明：b
23、n=+=+=+1+=2+，数列bn的前项和为Tn=2n+=2n+2n+，Tn2n+20已知O为坐标原点，焦点为F的抛物线E：x2=2py（p0）上不同两点A、B均在第一象限B点关于y轴的对称点为C，OFA的外接圆圆心为Q，且=（1）求抛物线E的标准方程；（2）两不同点A、B均在第一象限内，B点关于y轴的对称点为C，设直线OA、OB的倾角分别为、，且+=证明：直线AC过定点；若A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，求ABC的外接圆方程【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）利用向量的数量积公式，求出p，即可求抛物线E的标准方程；（2）设直线OA的方程为y=kx（k0），则直线OC的方程为y=x，与
24、x2=y联立，求出A，C的坐标，可得直线AC的方程，即可证明：直线AC过定点；若A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，可得A，B，C的坐标，即可求ABC的外接圆方程【解答】（1）解：OFA的外接圆圆心为Q，且=，|2=，|=，p=，抛物线E的标准方程x2=y；（2）证明：设直线OA的方程为y=kx（k0），则直线OC的方程为y=x，y=kx与x2=y联立，可得A（k，k2），y=x与x2=y联立，可得C（，），直线AC的方程为yk2=（xk），即y=（k）x+1，令x=0，可得y=1，直线AC过定点（0，1）；解：由，A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，=k，k0，k=，A（，3），B（，）
25、，C（，），设ABC的外接圆方程的圆心坐标为（0，b），则（0）2+（b3）2=（0）2+（b）2，b=，r2=，ABC的外接圆方程的方程为x2+（y）2=21已知函数f（x）=（x23x+3）ex的定义域为2，t，设f（2）=m，f（t）=n（）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数；（）求证：mn；（）若不等式+7x2k（xlnx1）（k为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明lnx（解答过程可参考使用以下数据ln71.95，ln82.08）【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义【分析】（1）由f（x）=（x23x+3）ex，知f（x）=
26、（x2x）ex，令f（x）0，则x1或x0，由此能够确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数（2）根据（1）求出的函数的单调区间，由函数的增减性得到函数的极小值，把x=2代入f（x）解析式求出f（2）的值，进行证明即可；（3）根据条件将不等式进行等价转化，构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性和最值进行求解即可【解答】解：（1）因为f（x）=（x23x+3）ex+（2x3）ex=x（x1）ex，由f（x）0x1或x0；由f（x）00x1，所以f（x）在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，欲使f（x）在2，t上为单调函数，则2t0（2）因为f（x）在（，0），
27、（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e又f（2）=e，所以f（x）仅在x=2处取得2，t上的最小值f（2），从而当t2时，f（2）f（t），即mn（）由+7x2k（xlnx1）等价于x2+4x+1k（xlnx1），即x+4klnx0记g（x）=x+4klnx，则g（x）=1=，由g（x）=0，得x=k+1，所以g（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+）上单调递增，所以g（k+1）=k+6ln（k+1），即g（x）0对任意正实数x恒成立，等价于k+6ln（k+1）0，即1+ln（k+1）0记h（k）=1+ln（k+1），则h（x）=0，所以h（x）在（0，+）上单调递减，又h（6）=2ln70，h（7）=0，所以k的最大值为6当k=6时，由x2+4x+16（xlnx1），令x=3，则ln32016年7月30日高考资源网版权所有，侵权必究！
