1、专题15.4 分式的基本性质（知识讲解）【学习目标】1.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算；2 理解并掌握分式变号的法则；3 理解并掌握分式的约分、最简分式；4 对比分数通分，掌握分式通分的基本运算。【知识要点】要点一、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.特别说明：（1）分式基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M0这
2、个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点二、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.特别说明：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点三、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式
3、（1除外），那么这个分式叫做最简分式.特别说明：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点四、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.特别说明：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分
4、母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、判断分式变形是否正确1、下列代数式变形正确的是（）ABCD【答案】D【分析】利用分式的基本性质对四个选项一一进行恒等变形，即可得出正确答案.解：A.，故本选项变形错误；B. ，故本选项变形错误； C.，故本选项变形错误；D.，故本选项变形正确，故选D.【点拨】本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的
5、基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.举一反三：【变式】分式变形中的整式A=_，变形的依据是_【答案】 x22x, 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变【分析】依据x2-4=（x+2）（x-2），即可得到分式变形=中的整式A=x（x-2）=x2-2x解：x2-4=（x+2）（x-2），分式变形=中的整式A=x(x2)=x22x，依据是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.故答案为x22x,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质.类型二、判断分式
6、变形成立条件2、下列变形正确的是（）ABCD【答案】C解：选项A. 不能化简，错误. 选项B. ,错误.选项C. ，正确.选项D. ,错误.故选C.举一反三：【变式】若分式的值为正数，则x的取值范围_【答案】x7解：由题意得：0，-60，7-x0，x7类型三、利用分式的基本性质判断分式值的变化3、若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）ABCD【答案】D【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、，错误；B、，错误；C、，错误；D、，正确；故选：D【点
7、拨】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键.举一反三：【变式】已知，则分式的值为_【答案】【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果解：，x-y=4xy，原式=，故答案为： 【点拨】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键类型四、把分式的分子分母最高次项化为正数4、下列运算正确的是（）ABCD【答案】C【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可解：，故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项正确；，故D选项错误故选：C【点拨】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是
8、解题的关键举一反三：【变式】不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则_【答案】【分析】根据分式的基本性质即可求出答案解：原式，故答案为：【点拨】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；熟练掌握分式的基本性质是解题关键类型五、把分式的分子分母各项的系数化为整数5、下列各式从左到右的变形正确的是( )A BCD【答案】C解：A. ，故原选项错误； B. ，故原选项错误；C. ，故此选项正确；D.，故原选项错误，故选C举一反三：【变式】将分式的分子、分母各项系数化为整数，其结果为_【答案】【分析】根据分式的基本性质，分子分母
9、都乘以最小公倍数6，分式的值不变，并且其分子、分母各项系数化为整数解：故答案为：【点拨】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变类型六、最简分式6、下列分式中，最简分式是（ ）ABCD【答案】A解：选项A为最简分式；选项B化简可得原式=；选项C化简可得原式=；选项D化简可得原式=；故选：A考点：最简分式举一反三：【变式】下列4个分式：； ；，中最简分式有_个【答案】2【分析】根据最简分式的定义逐式分析即可解：是最简分式；=，不是最简分式 ；=，不是最简分式；是最简分式.故答案为2【点拨】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的
10、分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式类型七、约分7、关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（）A约分的结果是B分式与的最简公分母是x1C约分的结果是1D化简的结果是1【答案】D【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D解：A、 ，故本选项错误；B、分式与的最简公分母是x21，故本选项错误；C、 ，故本选项错误；D、1，故本选项正确；故选D【点拨】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.举一反三：【变式】化简=_.【答案】解：原式=.类型八、最简公分母8、下列说法正确
11、的是（）A若分式的值为0，则x2B是分式C与的最简公分母是ab（xy）（yx）D【答案】B【分析】根据分式的值为零的条件，分式的定义，最简公分母的确定方法以及分式的性质进行判断解：A、若分式的值为0，则x2-4=0且x-20，所以x=-2，该选项不符合题意；B、的分母中含有字母，是分式，该选项符合题意；C、与的最简公分母是ab(x-y)，该选项不符合题意；D、当x=0时，该等式不成立，该选项不符合题意故选：B【点拨】本题主要考查了最简公分母，分式的定义，分式的值为零的条件注意：分式的分母不等于零举一反三：【变式】分式和的最简公分母为_【答案】【分析】先把分母进行因式分解，再求最简公分母即可解：
12、，所以最简公分母为，故答案为【点拨】本题考查了最简公分母，利用最简公分母的定义求解即可类型九、通分9、对分式通分后，的结果是（）ABCD【答案】B【分析】把a2-b2因式分解，得出的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案解：a2-b2=(a+b)(a-b)，分式的最简公分母是，通分后，=故选：B【点拨】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键举一反三：【变式】已知对于成立，则A=_,B=_【答案】 5 2【分析】先通分，使等式两边分母一样，然后使分子相等，整理后即可求出结果.解：，即，解得.【点拨】本题考查分式方程的知识、多项式相等和解二元一次方程组，熟练掌握通分、对应相等及二元一次方程组解法是解题的关键.
