1、香河一中2020年3月模拟卷1数学（理）第卷（选择题）一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】由，所以.所以故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式的解法.2. 已知复数满足 (其中为虚数单位)，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将复数化简为，再求模长即可.【详解】，则，.故选【点睛】本题主要考查了复数运算，同时考查了复数的模长公式，属于简单题.3. 已知向量,向量,向量满足,则的最大值为( )A. B. C. D
2、. 【答案】D【解析】【分析】设,则,即可求得,将的起点放到坐标原点,则终点在以为圆心,半径的圆上,即可求得的最大值.【详解】 设, 故,即将的起点放到坐标原点,则终点在以为圆心,半径的圆上.的最大值即:圆心到原点的距离+半径,即,故选:D.【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型.4. 下列四个命题：函数的最大值为1；“，”的否定是“”；若为锐角三角形，则有；“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件其中错误的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题
3、的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断.【详解】解：由,得的最大值为,故错误;“,”的否定是“”,故正确;为锐角三角形,则，在上是增函数,同理可得，,故正确;,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴,可得函数在区间内单调递增;若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得,“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确其中错误的个数是1.故选:A.【点睛】本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题5. 已知数列的通项公式为，前n项和
4、为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则常数m所能取得的最大整数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】由已知条件，推导出,设，推导出，得到的最小值是，由此能求出结果.【详解】数列的通项公式为，前n项和为，,设,则是递增数列，的最小值是，恒成立，解得，m所能取得的最大整数为5，故选：A【点睛】本题主要考查了数列前n项和公式的求法和应用，综合性强，对数学思维能力的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于难题6. 已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三为点的横坐标从小到大分别为，则的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数的图象与直线恰有三个公
5、共点，画出图象，且在区间内相切，其切点为，利用导数的几何意义得出，从而得到结论【详解】函数的图象关于对称，直线过，则，所以。所以函数的图象与直线恰有三个公共点如图所示，且在区间内相切，其切点为，由于，即，故选：C.【点睛】本题考查函数的对称性及导数的运用，考查数形结合思想、方程思想的综合运用，考查运算求解能力，求解的关键是准确画出函数的图形.7. 已知函数，则（ ）A. B. 2C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】首先求出的值，之后根据其范围，代入相应的式子，求得结果.【详解】因为，所以，所以，故选：A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有已知自变量求函数值，分段函数求值
6、问题，属于基础题目.8. 已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于，两点，若，的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合双曲线的定义、的面积、余弦定理列方程，化简求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】连接，根据双曲线的对称性可知四边形是平行四边形，由于，所以，设，结合双曲线的定义有，所以，即，由得，所以，而，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题.9. 的展开式中项的系数为-8，则a的值为（ ）A. 2B. -2C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式
7、，得到项，即可得到a的值.【详解】解：的展开式中，项为，故选：B.【点睛】本题考查二项式定理，考查计算能力，属于基础题.10. 新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）A. 丙没有选化学B. 丁没有选化学C. 乙丁可以两门课都相同D. 这四个人里恰有2个人选化学【答案】D【解析】【分析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论【详解】根据题意可得，甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，乙必定没选化学；又丙与甲
8、有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学； 若丙没选化学，又丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B不正确，D正确假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C不正确【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力11. 若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重
9、合），.给出下列三个结论：线段长度的取值范围是；存在点使得平面；存在点使得.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题的正误.【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.在正方体中，平面，平面，又，平面，即，同理可证，则，.以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，.对于命题，则，则，所以，命题正确；对于命题，则平面的一个法向量为，令，解得，所以，存在点使得平面，命题正确；对于命题，令，整理得
10、，该方程无解，所以，不存在点使得，命题错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.12. 已知函数，若（），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设x2x14，将已知转为f（x2）+2mx2f（x1）+2mx1恒成立，构造函数g（x）f（x）+2mx，由函数单调性定义可知函数g（x）在4，+）上的单调性，由单调性可求得a的取值范围【详解】由已知不妨设x2x14，要恒成立，只需f（x2）+2mx2f（x1）+2mx1，令g（x）f（x）+2mx，即g
11、（x2）g（x1）,由函数单调性的定义可知g（x）在4，+）上单调递增又函数g（x），g（x）2x+2m，即g（x）0在4，+）恒成立，即x+m0在4，+）恒成立，变量分离得-mx+,令h(x)= x+,只需-m，又h(x)在4，+）上单调递增，则=h(4)=4+，所以-m4+，由已知使-m4+成立，即,即，故选D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用构造函数法求参数的取值范围以及数学转化的思想.第卷（非选择题）二、填空题：把答案填在题中的横线上13. 设,是正方体的棱和的中点,在正方体的条面对角线中,与截面成角的对角线的数目是_.【答案】【解析】【分析】由于平面不是特殊的平面,
12、故建系用法向量求解,以为原点建系,正方体三边为坐标轴,求出平面的法向量,求解面对角线和的夹角,即可求得答案.【详解】以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴设正方体棱长为2,如图:则 , 当面对角线与截面成角, 需保证直线与法向量的夹角为,即其余弦值设平面的法向量 可得: ,取 ,则 当两条面对角线平行时,求解其中一条与面的法向量夹角即可. 平面中与平行,故不符合题意.综上所述,符合题意的面对角线为:共条.故答案为:.【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础
13、题.14. 已知函数（且）满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】由函数（且），得出 ，再根据对数函数与指数函数的关系，求得，结合对数函数的单调性，得到不等式，即可求解.【详解】由题意，函数（且）满足，所以函数为单调递减函数，所以，又由是的反函数，则，所以函数为单调递减函数，且，则不等式，即为，即，解得，即不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，以及指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.15. 的展开式中的项的系数等于_ .【答案】
14、.【解析】【分析】由，于是求项的系数转化为展开式中的系数，然后利用二项式定理求出即可.【详解】，要求的展开式中的项的系数，转化为求展开式中的系数，展开式通项为，令，得，因此，的展开式中的项的系数为，故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，本题将二项式进行了化简，将问题进行了转化，简化了计算，考查化归与转化数学思想，考查计算能力，属于中等题.16. 若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意xD，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x
15、）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_【答案】 【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】xD，点（x，g（x） 与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，g（x）+h（x）=2f（x），h（x）g（x）恒成立，2f（x）=g（x）+h（x）g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象， 则g（x）在直线f（x）下方或重合，则直线f（x）的截距b0，且原点到直线y=2x+b的距离d1，d=b或（舍去）即实数b的取值范围是
16、，+），故答案为.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必做题，每个考生都必须作答第22/23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题17. 某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点，米，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等腰直角，其中BC为斜边若；，求四边形OACB的面积；现决定对四边形OACB区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计
17、每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？【答案】(1)平方米；(2)【解析】【分析】计算时和的面积，求和得出四边形OABC的面积；设，求出和的面积和，得出目标函数的解析式，再求该函数取得最大值时对应的值【详解】当时，平方米；在中，由余弦定理得，；平方米，四边形OABC面积为平方米；设，则，所以，在中，由余弦定理得，；，不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，则有；化简得；因为，所以当时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大【点睛】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了转化思想以及计算能力是中档题18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，分别为的中点，点
18、在线段上.（1）求证：平面；（2）当时，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析 (2)24【解析】【分析】（1）证明得到证明底面，可得然后证明平面（2）证明底面，然后求解四棱锥的体积【详解】（1）证明：在平行四边形中，因为，所以由，分别为，的中点，得，所以因为侧面底面，且，所以底面又因为底面，所以 又因为，平面，平面，所以平面 （2）解：在中，过作交于点，由，得，又因为，所以，因为底面，所以底面，所以四棱锥的体积【点睛】本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题19. 某市城市总体规划（年）提出到年实现“分钟社区生活圈”
19、全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身个方面构建“分钟社区生活圈”指标体系，并依据“分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为）、良好小区（指数为）、中等小区（指数为）以及待改进小区（指数为）个等级.下面是三个小区个方面指标的调查数据：注：每个小区“分钟社区生活圈”指数，其中、为该小区四个方面的权重，、为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为之间的一个数值）.现有个小区的“分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：分组频数（）分别判断、三个小区是否是优质小区，并说明理由；（）对这个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样
20、，抽取个小区进行调查，若在抽取的个小区中再随机地选取个小区做深入调查，记这个小区中为优质小区的个数为，求的分布列及数学期望.【答案】（）、小区不是优质小区；小区是优质小区；见解析；（）分布列见解析，数学期望.【解析】分析】（）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；（）先求出个小区中优质小区的个数，可得出随机变量的可能取值，然后利用超几何分布的概率公式计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，利用数学期望公式可计算出随机变量的数学期望值.【详解】（）小区的指数，所以小区不是优质小区；小区的指数，所以小区是优质小区；小区的指数，所以小区不是优质小区；（）依题意，抽
21、取个小区中，共有优质小区个，其它小区个 依题意的所有可能取值为、.，. 则的分布列为： .【点睛】本题考查概率统计综合问题，同时也考查了超几何分布列与数学期望的计算，解题时要结合题意得出随机变量所满足的分布列类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20. 已知抛物线C的顶点在原点，且其准线为（1）求抛物线C的标准方程；（2）如果直线l的方程为：，且其与抛物线C交于A，B两点，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程，即可求出抛物线C的标准方程；（2）设直线与y轴的交点为D，联立直线与抛物线方程，即可求解.【详解】（1）可设抛物线的方程为，准线方程为，由抛
22、物线的准线方程为，可得，则抛物线方程为；（2）联立得，设，可得，设直线与y轴的交点为D，则，又抛物线的焦点坐标为，则【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的关系，属于基础题.21. 已知函数（1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值；（2）若，求证：【答案】（1）或；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导函数求出曲线在处切线，表示出切线与坐标轴围成三角形面积即可求解；（2）需证明的不等式通过作差转化成证明，利用导函数单调性求出最小值即可得证.【详解】（1），则为切线斜率又，切点为曲线在处切成方程为当时，当时，（易知）则切线与坐标轴围成三角形面积为得所以或（2）法一
23、：时，要证的不等式为，即令，则易知递增，仅有一解且，即当时，递减；当时，递增从而最小值为，故原不等式成立法二：时，要证的不等式为令，则故问题化为证不等式恒成立时，令，则，当时，递减；当时，递增，从而原不等式成立【点睛】此题考查通过导函数求在某点处的切线，通过导函数证明不等式，其中用到隐零点问题解法，常用方法作差构造新函数，若能考虑换元法由经典不等式讨论最值会更加简单.（二）选考题：请考生在22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函
24、数，并判断的轨迹是否过坐标原点【答案】（1）,(为参数,)（2）过坐标原点【解析】【详解】（1）由题意有，因此，的轨迹的参数方程为（为参数，）（2）点到坐标原点的距离为，当时，故的轨迹过坐标原点选修4-5：不等式选讲23. 设a0，b0，且a+bab（1）若不等式|x|+|x2|a+b恒成立，求实数x的取值范围（2）是否存在实数a，b，使得4a+b8？并说明理由【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到的取值范围.（2）求出的最小值，然后进行判断【详解】由，得 ，当且仅当时成立.不等式即为.当时，不等式为，此时；当时，不等式成立，此时；当时，不等式为，此时；综上，实数的取值范围是.由于.则 .当且仅当，即时，取得最小值.所以不存在实数，使得成立.【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.
