1、4.5 增长速度的比较 4.6 函数的应用（二）第四章 指数函数、对数函数 与幂函数 学习目标 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，并能够运用它们的性质，解决某些简单的实际问题.2.知道直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异.3.了解和体会函数模型的广泛应用，培养学生应用数学的意识及分析问题、解决问题的能力.重点：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性；会运用函数模型解决问题.难点：会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢.知识梳理 1.如何比较函数值变化的快慢？平均变化率实质上是函数值的改变量与自
2、变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加一个单位，函数值将增加若干个单位.因此可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.2.常见的函数模型及增长特点（1）指数函数模型指数函数模型yax（a1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧增长，形象地称为“指数爆炸”.（2）对数函数模型对数函数模型ylogax（a1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.（3）幂函数模型幂函数yxn（n0）的增长速度介于指数函数的增长速度和对数函数的增长速度之间.特别地，一次函数的增长为线性增长（或直线增长）.3.比较幂值大小的三种方法（1）若指数相同
3、，底数不同，则考虑使用幂函数的性质进行比较.（2）若指数不同，底数相同，则考虑使用指数函数的性质进行比较.（3）若指数与底数都不同，则考虑引入中间数，使这个数的底数与一个所比较数的底数相同，指数与另一个所比较数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小.4.指数型函数、对数型函数模型的应用（1）指数型函数模型ymax+b（a0且a1，m0），在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题都可用指数型函数模型来表示.（2）对数型函数模型：ymlogax+c（m0，a0且a1），对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算法则求解.（3）指数型、对数型函数应用题的解题
4、思路：依题意，找出或建立数学模型；依实际情况确定解析式中的参数；依题设数据解决数学问题；得出结论.5.建立拟合函数模型解决实际问题的步骤题型一 增长速度的比较 常考题型 例1（1）当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）A.y10 000 xB.ylog2xC.yx1 000D.y2xe（2）四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关
5、于x呈指数函数变化的变量是 .【解析】（1）由于指数型函数的增长是爆炸式增长，故当x越来越大时，函数y 2xe 的增长速度最快.（2）以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.【答案】（1）D（2）y2训练题 1.2019江西师大附中高一检测某山区绿色植被的面积每年都比上一年增长 10.4%，那么，经过 x 年，绿色植被的面积可增长为原来的 y 倍，则函数 yf（x）的大致图像为（）A B C D【归纳总结】（1）大
6、多数实际问题不能事先知道其函数模型，要通过科学观察和测试得出一些数据，绘出各点得到散点图，根据散点图的形状，通过函数拟合的方法确定函数模型.（2）数据拟合的步骤以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数模型，并设出其一般形式；取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；检验所得函数是否符合实际.题型二 比较函数值的大小 例22019宁夏银川一中高一期末当2xx2log2xB.x22xlog2xC.2xlog2xx2D.x2log2x2x【解析】（方法一：图像法）在同一平面直角坐标系中分别画出函数ylog2x，yx2，y2x在区间（2，4）上的图像（图
7、略），从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x，所以x22xlog2x.（方法二：特值法）比较三个函数值的大小，作为选择题,因为没有不确定的选项，可以采用特殊值代入法.可取x3，经检验易知选B.【答案】B【归纳总结】比较幂值的大小常用图象法、特值法和中间值法。直线上升反映了一次函数（一次项系数大于0）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度急剧（越来越快）；对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）.解题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律.【训练题2】函数f（x）2x和g（
8、x）x3的图像如图4-5-1所示.设两函数的图像交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1g（1），f（2）g（2），f（9）g（10），1x12，9x210，x16x2.从图像上可以看出，当x1xx2时，f（x）g（x），f（6）x2时，f（x）g（x），f（2 019）g（2 019）.又g（2 019）g（6），f（2 019）g（2 019）g（6）f（6）.题型三 利用指数函数模型解决实际问题 例3 2019海南海口高一期末某公司2018年投入的科研资金为100万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%，则该公司投入的科研资金开始超过200万元的年份是（）A.202
9、1年B.2022年C.2023年D.2024年【解析】某公司 2018 年投入的科研资金为 100 万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长 20%，则 x 年后投入的科研资金为 y100（1+20%）x1001.2x，由 1001.2x200，解得 x4.所以该公司投入的科研资金开始超过 200 万元的年份是 2018+42022（年）.【答案】B 训练题3.2019重庆第一中学高一月考“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关
10、系式为（）A.y 12 x（xN*）B.y12x（xN*）C.y2x（xN*）D.y 12x（xN*）【规律方法】函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过已知条件得出函数解析式，或者对已知数据的分析，得出重要信息，进而从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.题型四、利用对数函数模型解决实际问题【解】（1）由y 12 log3100 可知，当900时，y 12 log3900100 12 log391（m/s）.所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.（2）令y0，则 12 log3100 0，所以100 1，解得100，所以一条鲑鱼静止
11、时耗氧量为100个单位.（3）设鲑鱼原来的速度为y1 m/s，提速后的速度为y2 m/s，原来耗氧量的单位数为1，提速后耗氧量的单位数为2.由y2-y11，得 12 log32100-12 log31100 1，即21 9.所以耗氧量的单位数需提高为原来的9倍.例 4.2019湖北宜昌高一联考大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数 y 12 log3100，单位是 m/s，表示鲑鱼的耗氧量的单位数.（1）当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是多少？（2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.（3）鲑鱼的游速每提高 1 m/s，它的耗氧量的单位数需提
12、高为原来的多少倍？【归纳总结】解函数应用问题的四个步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；（3）解模：求解函数模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题.以上过程用框图表示如下.训练题 4.2019河南郑州一中高一阶段测试冬天来了，燕子要飞到温暖的南方去过冬，若两岁燕子的飞行速度 v 与耗氧量 x 之间满足函数2vk log 10 x.当两岁燕子耗氧量为 40 个单位时，其飞行速度 v10 m/s，则当两岁燕子飞行速度为 15 m/s时，耗氧量为 个
13、单位.例5.2019河北武邑中学高三调研某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图4-5-3），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图4-5-3）.（注：利润与投资额的单位均为万元）图4-5-3 图4-5-4（1）分别将A，B两种产品的利润f（x），g（x）表示为投资额x的函数.（2）该团队已筹集到10 万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？题型五 利用幂函数模型解决实际问题【解】（1）f（x）14 x（x0），g（x）54x（x0）.（2）设B产品的投资额为x万元
14、，则A产品的投资额为（10-x）万元，创业团队获得的利润为y万元，则yg（x）+f（10-x）54x+14（10-x）（0 x10）.令x t（0t 10），可得y-14 t2+54 t+52（0t 10），即y-21542t+6516（0t 10）.当t 52，即x6.25时，y取得最大值4.062 5.答：当B产品的投资额为6.25万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.062 5万元.【归纳总结】（1）函数yg（x）+f（10-x）54+（10-x）（0 x10）的最值可通过换元法求得，换元后要注意新元的范围.（2）确定函数解析式的方法待定系数法：已知条件中给出了含
15、参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数类型，此种情形下应利用待定系数法求出函数解析式中的相关变量（未知系数）的值，即得函数的解析式.归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出相对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数的解析式.方程法：用x表示变量或其他相关的量.根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理等方面的知识，列出函数所满足的等式.训练题5.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1 15 x，Q2 35x.现有3万元资金可投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？解：设对甲种商品投资x万元，
16、则对乙种商品投资（3-x）万元，总利润为y万元，所以y 15 x+335x（0 x3）.令t 3x（0t 3），则x3-t2，所以y 15（3-t2）+35 t-21352t+2120.当t 32 时，ymax 2120 1.05，这时x 34 0.75，3-x2.25.由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为0.75万元和2.25万元，最大利润为1.05万元.小结 1.直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型，其增长的速度随自变量的增大有明显的差异。2.比较函数值的大小，常利用函数的单调性法，这两个函数值不是同一函数的两个值时，常用中间值法或者函数图象法。3.求函数解析式最常用的方法是待定系数法。4.随着自变量的增大函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”，这样的函数常用指数函数作为模型来解决；随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓，这样的函数常用对数函数作为模型来解决；增长速度介于指数函数和对数函数之间的函数，常用幂函数来解决。特别地，一次函数的增长为线性增长，即直线增长。
