1、6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 学习目标 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题.2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.重点：用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”.难点：将实际问题转化为向量问题.1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为；(2)通过，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等(2)向
2、量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中(3)动量 mv 是向量的数乘运算(4)功是力 F 与位移 s 的数量积向量向量问题向量运算知识梳理 例1 一 向量在平面几何中的应用 1.平面几何中的垂直问题 常考题型 如图，若点D是ABC内一点，并且满足AB2+CD2AC2+BD2，求证：ADBC.【证明】不妨设 AB c，AC b，ADm，则BD AD-AB m-c，CD AD-AC m-b.因为AB2+CD2AC2+BD2，所以c2+（m-b）2b2+（m-c）2，即c2+m2-2mb+b2b2+m2-2mc+c2，所以2m（c-b）0，即2AD（AB-AC）0，所以 ADCB0，所以ADB
3、C.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.用向量法解决平面几何问题的两种方法（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或性质计算.（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.向量法证明平面几何中ABCD的方法方法一：选
4、择一组向量作基底；用基底表示 AB 和CD；证明 AB CD的值为0；给出几何结论ABCD.方法二：先求 AB，CD 的坐标，AB（x1，y1），CD（x2，y2），再计算x1 x2+x2y2的值为0，从而得到几何结论ABCD.训练题1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.证明：（方法一）设正方形ABCD的边长为1，AEa（0a1），则EPAEa，PFEB1-a，AP2 a，DPEF（DA+AP）（EP+PF）DA EP+DAPF+AP EP+AP PF1acos 180+1（1-a）cos 90+2 aa
5、cos 45+2 a（1-a）cos 45-a+a2+a（1-a）0.DP EF，即DPEF.（方法二）设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系.设P（x，x），则D（0，1），E（x，0），F（1，x），所以DP（x，x-1），EF（1-x，x）.DPEF x（1-x）+x（x-1）0，DPEF，即DPEF.2.如图，O是ABC的外心，E为ABC内一点，满足OE OA+OB+OC，求证：AEBC.证明：因为 BC OC-OB，AE OE-OA（OA+OB+OC）-OAOB+OC，所以 AEBC（OB+OC）（OC-OB）|OC|2-|OB|2.因为O为ABC的外心，所以|OC|OB|
6、，所以 AE BC 0，即AEBC.例2 2.平面几何中的平行（或共线）问题 平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且 CEED AFFB 12.求证：点E，O，F在同一直线上.【证明】设 ABm，ADn，由 CEED AFFB 12，知E，F分别是CD，AB的三等分点，FO FA+AO 13 BA+12 AC-13 m+12（m+n）16 m+12 n，OE OC+CE 12 AC+13CD 12（m+n）-13 m 16 m+12 n.FOOE.又O为 FO和OE 的公共点，故点E，O，F在同一直线上.用向量法证明平面几何中ABCD的方法方法一：选择一组向量作基底；用基底表
7、示 AB 和CD；寻找实数，使 ABCD，即 AB CD；给出几何结论ABCD.方法二：先求 AB，CD的坐标，AB（x1，y1），CD（x2，y2）.利用向量共线的坐标关系x1y2-x2y10得到 AB CD，再给出几何结论ABCD.以上两种方法，在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才能由 ABCD得到ABCD.训练题2019河南南阳一中高一检测如图所示，在平面直角坐标系中，|OA|2|AB|2，OAB 23，BC（-1，3）.（1）求点B，C的坐标；（2）求证：四边形OABC为等腰梯形.（1）解：连接OB，设B（xB，yB），则xB|OA|+|AB|cos（-OAB）52，yB|A
8、B|sin（-OAB）32，OC OB+BC 53,22+（-1，3）3 3 3,22，53,22B，3 3 3,22C.（2）证明：OC 3 3 3,22，AB 13,22，OC 3AB，OC AB.又易知OA与BC不平行，|OA|BC|2，四边形OABC为等腰梯形.例3 3.平面几何中的长度问题 如图，在平行四边形ABCD中，AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长.【解】设 ADa，AB b，则BDa-b，AC a+b.而|BD|a-b|222+aa b b 1+4 2a b 52a b2，5-2ab4，ab 12.又|AC|2|a+b|2a2+2ab+b21+4+2ab6，|AC
9、|6，即AC 6.利用向量法解决长度问题的方法（1）基向量法：利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式，若a（x，y），则|a|22xy.训练题如图所示，在矩形ABCD中，AB3，BC3，BEAC，垂足为E，则ED.212解析：以 A 为坐标原点，AD，AB 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 A（0，0），B（0，3），C（3，3），D（3，0），AC（3，3）.设 AE AC，则 E 的坐标为（3，3），故BE（3，3-3）.因为 BEAC，所以BEAC 0，即9+3-30，解得14，
10、所以33,44E.故 ED 93,44，|ED|212，即 ED212.例4 二 向量在物理中的应用 1.力做功问题 一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45的方向移动了8 m，其中|F1|2 N，方向为北偏东30；|F2|4 N，方向为北偏东60；|F3|6 N，方向为北偏西30.求这三个力的合力F所做的功.【解】如图，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，则F1（1，3），F2（2 3，2），F3（-3，3 3），FF1+F2+F3（2 3-2，2+4 3）.又位移s（4 2，4 2），合力F所做的功WFs（2 3-2）4 2+（2+4 3
11、）4 2 4 2 6 3 24 6（J）.合力F所做的功为24 6 J.【提示】向量在物理中应用的几个方面（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.（3）动量mv是向量的数乘运算.（4）功是力F与位移s的数量积.利用向量法解决物理问题的步骤（1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；（2）建立以向量为主体的数学模型；（3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题.训练题已知一物体在共点力F1（2，2），F2（3，1）的作用下产生位移s 12，32，则共点力对物体所做的功为（）A.4 JB
12、.3 J C.7 JD.2 J已知力 F（斜向上）与水平方向的夹角为 30，大小为 50 N，一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数为0.02 的水平面上运动了 20 m.问力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？（g10m/s2）1.2.C解：如图所示，设木块的位移为s，则WFFs|F|s|cos 30502032 500 3（J）.将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|F|sin 3050 12 25（N），所以摩擦力f的大小为|f|（G-F1）|（80-25）0.021.1（N），因此Wffs|f|s|cos 1801.120（-1）-22（J）.即F和
13、f所做的功分别为500 3 J和-22 J.例5 2.力、速度的合成 在风速为75（6-2）km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向.【解】设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则ca+b.如图，作向量OAa，OB b，OC c，则四边形OACB为平行四边形.过C，B分别作OA的垂线，交AO的延长线于点D，E.由已知，|OA|75（6-2），|OC|150，COD45.在RtCOD中，ODOCcos 4575 2，CD75 2.又EDBCOA75（6-2），OEOD+ED75 6.又BECD75 2，在RtOE
14、B中，OB22OEBE150 2，sinBOE BEOB 12，|OB|150 2，BOE30.故没有风时飞机的航速为150 2 km/h，航向为北偏西60.用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法（1）认真分析物理现象，把握物理量之间的相互关系；（2）通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；（3）利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；（4）利用这个结果，对物理现象作出解释.训练题如图，用两条同样长的绳子拉一物体保持平衡，物体的重力为G.两绳受到的拉力分别为F1，F2，夹角为.（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与|G|的关系式，并用数学观点分析
15、F1的大小与夹角的关系；（2）求|F1|的最小值；（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围.解：（1）由力的平衡得F1+F2+G0.设F1，F2的合力为F，则F-G.由F1+F2F且|F1|F2|，|F|G|，解直角三角形得2cos 11|2|FF1|2|GF，|F1|22Gcos，0，180）.函数ycos 2 在0，180）上为减函数，且为正数，当逐渐增大时，2cos 逐渐减小，即|22Gcos 逐渐增大，当增大时，|F1|也增大.（2）由（1）可知，当0时，|F1|有最小值 2G.（3）由题意，得 2G|F1|G|，12 122cos 1，即 12 2cos 1.ycos2
16、 在0，180）上为减函数，02 60，0，120.小结 1向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两线段相等，如 ABCD，则可转化为证明：AB 2CD 2.(2)要证明两线段平行，如 ABCD，则只要证明：存在实数 0，使AB CD 成立，且 AB 与 CD 无公共点(3)要证明两线段垂直，如 ABCD，则只要证明数量积AB CD 0.(4)要证明 A，B，C 三点共线，只要证明存在一实数0，使AB AC.(5)要求一个角，如ABC，只要求向量BA 与向量BC的夹角即可2向量在物理中应用时要注意三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识.
