1、北京航空航天大学附中三维设计2022年高考数学二轮复习：数系的扩充与复数的引入本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知i为虚数单位，a为实数，复数在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条【答案】A2复数（是虚数单位）的虚部是( )ABC D【答案】C3满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是( )A一条直线B两条直线C
2、圆 D椭圆【答案】C4定义运算(，)(c,d)bd，则符合条件(z，12)(1，1)0的复数z的所对应的点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D5复数等于( )A BCD【答案】D6设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是( )Aadbc=0Bacbd=0C ac+bd=0Dad+bc=0【答案】D7复数的实部与虚部之和为( )AB0C1D2【答案】B8复数满足,其中为虚数单位,则( )A B 1C D 【答案】D9若复数（i是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a等于( )A-1BCD3【答案】D10复数等于( )A3-4iB5-4iC3-2iD
3、5-2i【答案】A11是虚数单位，复数等于( )ABCD【答案】D12为虚数单位，复平面内表示复数的点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13若sin21i(cos1)是纯虚数（其中i是虚数单位），且0,2)，则的值为 。【答案】14复数的值_.【答案】15已知是虚数单位，复数，则等于_【答案】16设复平面上关于实轴对称的两点Z1，Z2所对应的复数为z1，z2，若z1(3z21)iz2(2z1)i i，则z1z2 【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应
4、写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知，其中，且为纯虚数(1）求的对应点的轨迹；(2）求的最大值和最小值【答案】（1）设，则，为纯虚数，即的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去两点；(2）由的轨迹可知，圆心对应，半径为3，的最大值为：，的最小值为：18实数m为何值时，复数z=(m2+5m+6)+（m2-2m-15）i 对应的点在：(1）x轴上方；(2）直线x+y+5=0上.【答案】(1)若复数Z对应的点在x轴上方，则m2-2m-150,解得m5(2)复数z对应的点为（m2+5m+6，m2-2m-15），z对应的点在直线x+y+5=0上，（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+
5、5=0，整理得2m2+3m-4=0，解得m=（-3）19已知，且以下命题都为真命题：命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题 存在复数同时满足且.求实数的取值范围.【答案】由命题为真，可得;由命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，于是由图形不难得到，故两个命题同时为真的实数的取值范围是.20设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点证明：曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (tR)与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点【答案】曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos
6、2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t) x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t(0x1) y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1x)2+2b(1x)x+cx2 即 y=(a2b+c)x2+2(ba)x+a (0x1) 若a2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a2b+c0于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线AB中点M：+(a+b)i，BC中点N：+(b+c)i与AC平行的中位线经过M(，(a+b)及N(，(b+c)两点，其方程为4(ac)x+4y3a2b+c=0(x) 令 4(a2b+c)x2+8(ba)x+4a=4(ca)x+3a+2bc即4(a2b+c)x2+4(2bac)x+a2b+c=0由a2b+c0，得4x2+4x+1=0，此方程在，内有惟一解： x=以x=代入得， y=(a+2b+c) 所求公共点坐标为(，(a+2b+c)21已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y的值【答案】设代入条件并整理得，由复数相等的条件得，解得，22已知复数，且为纯虚数(1）求复数；(2）若，求复数的模【答案】（1）是纯虚数，且，(2）
