1、22.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质内 容 标 准学 科 素 养1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.应用直观想象提升数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 对数函数的概念预习教材P70，思考并完成以下问题在指数函数中我们已经知道，某种放射性物质若最初的质量为 1，第二年的剩留量为上一年的 0.84，则经过 x 年，该物质的剩留量为 y0.84x.(1)经过多少年这种物质的剩留量为 0.5?(2)若经过 y 年的剩留量为 x，能用 x 表示
2、 y 吗？(3)“问题(2)”的等式中 y 是 x 的函数吗？提示：0.84x0.5xlog0.840.5.提示：能ylog0.84x.提示：是，符合函数的定义 知识梳理 函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是知识点二 对数函数的图象和性质预习教材P7071，思考并完成以下问题(1)试作出 ylog2x 和 ylog12x 的图象ylogax(a0，且 a1)提示：如图所示：x(0，)(2)两图象与 x 轴交点坐标是什么？(3)两函数单调性如何？(4)函数 y2x 与 ylog2x 的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？提示：交点坐标为(1,0)提示：ylog2x 是增函数，ylo
3、g12x 是减函数提示：图象关于直线 yx 对称，定义域和值域互换 知识梳理 1.对数函数的图象与性质a10a1图象定义域：值域：R过点，即当 x1 时，y0性质在(0，)上是在(0，)上是2.对数函数与指数函数的关系指数函数和对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数(0，)(1,0)增函数减函数yax自我检测1下列函数是对数函数的是()Ayloga(2x)Bylog22xCylog2x1 Dylg x解析：选项 A、B、C 中的函数都不具有“ylogax(a0，且 a1)”的形式，只有D 选项符合答案：D2函数 y xln(1x)的定义域为()A(0,1)B0,1)C(0,1 D0
4、,1解析：因为 y xln(1x)，所以x0，1x0，解得 0 x0，且 a1)恒过定点_(2)若对数函数 ylog(12a)x，x(0，)是增函数，则 a 的取值范围为_解析：(1)当 x2 时，y1，故恒过定点(2,1)(2)由 12a1，得 a0，故 a 的取值范围为 a0.答案：(1)(2,1)(2)a0探究一 对数函数的概念例 1 指出下列函数中哪些是对数函数？(1)ylogax2(a0 且 a1)；(2)ylog2x1；(3)y2log7x；(4)ylogxa(x0 且 x1)；(5)ylog5x.解析 只有(5)为对数函数(1)中真数不是自变量 x，不是对数函数；(2)中对数式后
5、减 1，不是对数函数；(3)中 log7x 前的系数是 2，而不是 1，不是对数函数；(4)中底数是自变量 x，而非常数 a，不是对数函数方法技巧 对数函数的判断：判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如 ylogax(a0 且 a1)的形式，即满足以下条件：(1)系数为 1.(2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数(3)对数的真数仅有自变量 x.跟踪探究 1.判断下列给出的函数是否是对数函数：(1)yloga x(a0，a1)；(2)ylog(x1)x；(3)ylog(2)2x；(4)ylog2(x3)；(5)y3log2x1.解析：(1)中的真数是 x，而不是 x，故不是对数函数(2
6、)中的底数是 x1，而不是常数，故不是对数函数(3)中的底数是(2)240，符合对数函数的定义，是对数函数(4)中的真数是(x3)，而不是 x，故不是对数函数(5)中 log2x 的系数是 3 而不是 1，后边的常数是 1 而不是 0，故不是对数函数探究二 对数函数的定义域阅读教材 P71 例 7求下列函数的定义域：(1)ylogax2；(2)yloga(4x)题型：求定义域例 2 求下列函数的定义域：(1)ylog5(1x)；(2)ylog(1x)5；(3)yln4xx3；(4)y log0.54x3.解析(1)要使函数式有意义，需 1x0，解得 x1，所以函数 ylog5(1x)的定义域是
7、x|x0，1x1，解得 x1，且 x0，所以函数 ylog(1x)5的定义域是x|x0，x30，解得 x4，且 x3，所以函数 yln4xx3 的定义域是x|x0，log0.54x30，解得34x1，所以函数 ylog0.54x3的定义域是x34 x1.方法技巧 求对数函数定义域应注意的问题：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于 0；若自变量在底数上，应保证底数大于 0 且不等于 1.跟踪探究 2.求下列函数的定义域：(1)ylg(x1)3x21x；(2)ylogx2(5x)解析：(1)要使函数式有
8、意义，需x10，1x0，x1，x1，1x1.该函数的定义域为(1,1)(2)要使函数式有意义，需5x0，x20，x21，x5，x2，x3，2x5，且 x3.该函数的定义域为(2,3)(3,5)探究三 对数函数的图象问题例 3(1)当 a1 时，在同一坐标系中，函数 yax 与 ylogax 的图象为()(2)已知 f(x)loga|x|，满足 f(5)1，试画出函数 f(x)的图象.解析(1)a1，01a1”去掉，函数“ylogax”改为“yloga(x)”，则函数 yax 与 yloga(x)的图象可能是()解析：在 yloga(x)中，x0，x0，图象只能在 y 轴的左侧，故排除 A，D；
9、当 a1 时，yloga(x)是减函数，yax1ax 是减函数，故排除 B；当 0a1 时，yloga(x)是增函数，yax1ax 是增函数，C 满足条件，故选 C.答案：C2把本例(2)改为 f(x)|log2(x1)|2，试作出其图象解析：第一步：作 ylog2x 的图象，如图(1)所示第二步：将 ylog2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度，得 ylog2(x1)的图象，如图(2)所示第三步：将 ylog2(x1)的图象在 x 轴下方的部分作关于 x 轴的对称变换，得 y|log2(x1)|的图象，如图(3)所示第四步：将 y|log2(x1)|的图象沿 y 轴向上平移 2 个
10、单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示方法技巧 函数图象的变换规律(1)一般地，函数 yf(xa)b(a，b 为实数)的图象是由函数 yf(x)的图象沿 x 轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿 y 轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的一般地，yf(|xa|)的图象是关于直线 xa 对称的轴对称图形；函数 y|f(x)|的图象与 yf(x)的图象在f(x)0 的部分相同，在 f(x)0 且a1)这种形式2在对数函数 ylogax 中，底数 a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质3涉及对数函数定义域
11、的问题，常从真数和底数两个角度分析素养培优忽略对数函数的定义域而出错设函数 yf(x)，且 lg(lg y)lg 3xlg(3x)(1)求 f(x)的表达式及定义域；(2)求 f(x)的值域易错分析：错解中没有考虑所给式子成立的条件，所求函数的定义域必须使原式有意义，不能仅根据去掉对数符号所得的解析式去确定函数的定义域自我纠正：(1)由题设知3x0，3x0，lg y0，即0 x3，y1.因为 lg(lg y)lg 3xlg(3x)，所以 lg(lg y)lg3x(3x)，即 lg y3x(3x)，所以 f(x)103x(3x)103x29x，其中 0 x3，即定义域为(0,3)(2)令 u3x29x3x322274，0 x3.因为 03x29x274，所以 1y，所以 f(x)的值域为.04课时 跟踪训练
