1、专题2.4 单项式（知识讲解）【学习目标】1 理解并判断单项式；2 掌握单项式系数及次数； 3. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系【要点梳理】【知识点一】单项式的概念如，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式特别说明：（1）单项式包括三种类型：数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；单独的一个数；单独的一个字母（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积【知识点二】单项式的系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 特别说明：（1）确定单项式的系数时，最好先将
2、单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率是常数单项式中出现时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成【知识点二】单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数特别说明：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算【典型例题】类型一、单项式概念1判断下列各式是否是单项式，如果不是，请简单说明理由；如果是，请指出它的系数和次数.(1)；(2)；(3)；(4).
3、【答案】(1)不是，理由见分析；(2)不是，理由见分析；(3)是，系数是，次数是2(4)是，系数是，次数是3.【分析】根据单项式的定义，单项式系数及次数的定义进行解答即可解：(1)是多项式；(2)，分母中含有字母，是分式；(3)，是单项式，系数是，次数是2；(4)，是单项式，系数是，次数是3.【点拨】本题考查的是单项式，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键举一反三：【变式】找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】（1），（3），（4），（
4、5）符合单项式的定义，是单项式；（1）的系数是，次数是1；（3）的系数是，次数是1；（4）的系数是，次数是3；（5）的系数是，次数是7.【分析】根据单项式的定义找出单项式，再根据单项的系数与次数的概念进行求解即可.解：(1)(3)(4)(5)符合单项式的定义，是单项式(1)的系数是，次数是1；(3)的系数是，次数是1；(4)的系数是，次数是3；(5)的系数是，次数是7.【点拨】本题考查了单项式的概念、单项式的系数与次数，熟练掌握相关概念是解题的关键.类型二、单项式的系数和次数2若是关于，的五次单项式且系数为6，试求，的值【答案】【分析】根据题意可得，进而求得的值解：是关于，的五次单项式且系数为
5、6，【点拨】本题考查了单项式的系数与次数，单项式中，数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，掌握单项式的系数与次数是解题的关键举一反三：【变式1】已知|a|a，试确定六次单项式x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003a2002+1的值【答案】-1，-1【分析】根据|a|a，可得a0，再由x5y|a|是六次单项式，可得5a6，即可求解解：由|a|a，得a0，x5y|a|是六次单项式，5a6，解得：a1，a2003a2002+111+11【点拨】本题主要考查了单项式的次数，有理数的乘方运算，熟练掌握单项式中所有字母的指数之和就是该单项式的次数是解题的关键【变式2】
6、已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值【答案】【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义求得的值，进而求得的值解：因为多项式是六次四项式，所以，解得因为单项式的次数与这个多项式的次数相同，所以，所以，解得故【点拨】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式的次数和项数是解题的关键类型三、由单项式的特征写出其单项式3、符合下列条件的单项式有几个? 请你一一写出来.系数为；所含字母为m，n；次数为5.【答案】m4n，m3n2，m2n3，mn4【分析】根据题意结合单项式的次数、系数定义得出符合题意的答案解：由题意可得：符合条件的单项式有：m4n，m3n2，m2n3
7、，mn4【点拨】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的确定方法是解题关键举一反三：【变式1】小亮在抄写单项式时，把字母中有的指数写掉了，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？【答案】或或【分析】利用单项式的定义求解即可解：这个单项式是四次单项式，这个单项式可能是或或【点拨】本题主要考查了单项式，解题的关键是熟记单项式的定义【变式2】已知是关于x，y的五次单项式，试求下列代数式的值（1）； （2）【答案】（1）-9；（2）-9.【分析】根据单项式的次数，就能得到关于a的方程为，再根据代数式是五次单项式因此，解这两个方程，即可得出a的值，再代入代数式即可求值.解：依
8、题意，得且，所以（1）原式；（2）原式【点拨】本题考查了代数式求值的知识点，利用单项式的次数及单项式的系数不为0得出关于a的方程是解题的关键，属于中档题.类型四、单项式中的规律题4、已知单项式-、，按一定的规律排列，请解答下列问题（1）第5个单项式是_；（2）试写出第2007个单项式_；第2008个单项式_；（3）试写出第n个单项式_【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为n（1）n，字母是a，a的指数为n的值；（2）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为n（1）n，字母是a，a的指数为n的值；（3）通过观察题意可得：每一项都是单项式，
9、其中系数为n（1）n，字母是a，a的指数为n的值，即可得出答案解：（1）a、2a2、3a3、4a4，5a5，6a6；故答案为：5a5；（2）第2007个单项式：2007a2007；第2008个单项式：2008a2008；故答案为：2007a2007；2008a2008；（3）第n个单项式的系数为：n（1）n，次数为n，故第n个单项式为：（1）nnan故答案为：【点拨】此题考查了找规律的单项式题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的举一反三：【变式1】探究规律题：按照规律填上所缺的单项式并回答问题：（1）a，2a2，3a3，4a4， ， ；
10、（2）试写出第2017个和第2018个单项式；（3）试写出第n个单项式；（4）当a1时，求代数式a+2a2+3a3+4a4+99a99+100a100+101a101的值【答案】（1），；（2），；（3）；（4）【分析】（1）根据规律找出系数和次数的规律即可；（2）根据（1）的规律即可求得第2017个和第2018个单项式；（3）根据（1）的规律写出第n个单项式；（4）将代入求值即可解：（1）根据规律第5个单项式为，第6个单项式为故答案为：，（2）第2017个和第2018个单项式分别为，（3）系数的规律：第n个对应的系数是，指数的规律：第n个对应的指数是，第n个单项式是，（4）当a1时，a+2a
11、2+3a3+4a4+99a99+100a100+101a101【点拨】此题考查单项式的规律探索，分别找出单项式的系数和指数的规律是解决此类问题的关键【变式2】有一系列单项式：，（1）你能说出它们的规律是什么吗（2）写出第101个、第个单项式（3）写出第2n个、第个单项式【答案】（1）；（2），；（3）第2n个单项式为，第个单项式是【分析】（1）观察每个单项式的系数与字母a的指数，即可发现规律；（2）（3）根据（1）中的规律可直接进行求解解：（1）由，可以得到：每个单项式的系数的绝对值与字母a的指数均与序号相等，且奇数项系数为负，偶数项系数为正，第n个单项式是；（2）第101个单项式为，第2016个单项式为；（3）第2n个单项式为，第个单项式是【点拨】本题考查了确定一列单项式的系数和次数的规律，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键
