1、第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1.3 向量数量积的坐标运算 学习目标 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.3.体验用数量积的坐标运算解决某些简单的几何问题.重点：向量数量积的坐标运算与度量公式.难点：灵活运用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关问题.知识梳理 已知向量（1，1），（2，2），则 12+12.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.一、向量的坐标与向量的数量积1.向量数量积的坐标运算推导：设（1，1），（2，2），由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底e1，
2、e2，使得11+12，21+22，因 此 （11+12）（21+22）121 1+121 2+122 1+122 212+12.特别提醒：公式ab|a|b|cosa，b与abx1x2+y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，可相互推导.若已知两向量的模与夹角，则用公式ab|a|b|cosa，b求解；若已知两向量的坐标，则用公式abx1x2+y1y2求解.2.向量的长度（模）的坐标运算若（，），则 2 =2+2，故可得|2+2.利用向量的数量积，同样可以方便地得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，如 果（1，1），（2，2），则（2 1，2 1），
3、因此 2 1 2+2 1 2.3.向量的夹角的坐标运算 设向量（1，1），（2，2），则cos|12+1212+12 22+22.方法技巧：利用数量积的坐标运算求两个向量夹角的步骤：（1）利用坐标运算求ab；（2）利用|a|12+12与|b|22+22求两个向量的模；（3）由cos|12+1212+12 22+22直接求出cos；（4）在0,内，由cos的值求.设（1，1），（2，2），因 为 的充要条件是 0，因此 12+1 20.二、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 注意：1 2 2 10，在应用两向量平行于垂直的充要条件时，要特别注意两者的区别，切忌混淆.一、平面向量数量积的坐标运算
4、常考题型 例1 已知向量a（1，2），b（3，4），求ab，（a-b）（2a+3b）.【解】方法一：因为a（1，2），b（3，4），所以ab（1，2）（3，4）13+2411，（a-b）（2a+3b）2a2+ab-3b22|a|2+ab-3|b|22（12+22）+11-3（32+42）-54.1.已知向量的坐标求数量积方法二：因为a（1，2），b（3，4），所以ab11，因为a-b（1，2）-（3，4）（-2，-2），2a+3b2（1，2）+3（3，4）（21+33，22+34）（11，16），所以（a-b）（2a+3b）（-2，-2）（11，16）-211+（-2）16-54.数量积运算的
5、途径及注意点（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.（2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.训练题2019江西赣州南康区高三月考已知向量a（1，3），b（3，-2），则向量2ab（）A.12B.-3C.3D.-6D2.建立坐标系求数量积例2 2019黑龙江大庆实验中学高三模拟如图所示，在矩形ABCD中，2，2，点为的中点，点在上.若 2，则的值为（）A.2B.2C.0D.1【解题提示】以A为原点建立
6、平面直角坐标系，可以得到各点的坐标，然后表示出相应向量的坐标，再对向量进行坐标运算求解.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），E（2，1）.设F（，2），则（2，0），（，2）.2 2，解得1，F（1，2）.（2，1），（1-2，2），2（1-2）+12 2.【答案】A训练题2019河南安阳高三二模如图所示，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，ABAD4，CD8.若 7，3，则 （）A.11B.10C.-10D.-11D3.求向量投影的数量例 3 2 0 1 9 河 北 邢 台 高 一 期 末 已 知 1（0，5），2（2，1），3（1，4），则向量12
7、在向量13 上的投影的数量是（）A.4B.2 10C.2 2D.105【解析】因为12（2，-6），13（-1，-1），12 13 4，|13|2，所以|12|cos12 13 13 422 2.故选C.【答案】C2.2019湖北恩施高三模拟已知向量a（1，3），b(12，32)，则a+b在b上的投影的数量为（）A.2B.3C.1D.-1A 训练题1.2019浙江宁波镇海区高一检测已知（4，3），（5，12），则向量在上的投影的数量为（）A.165 B.165 C.1613D.1613C 例4 2019安徽定远高三一模已知向量a，b满足|a|1，|b|2，（3，2），则|2a-b|（）A.15
8、B.17C.2 2D.2 5二、向量的模的问题【解析】由已知得 22 2 +21 2 +45，0，（2 ）242 4 +24 0+48，|2|2 2.【答案】C求向量的模的方法（1）利用公式|2+2求解；（2）利用数量积求解；（3）利用公式2|2求解.训练题1.2 0 1 9 河 南 鹤 壁 高 一 检 测 设 平 面 向 量（1，2），（2，），若 ，则|+|（）A.5B.6C.2D.102.2019宁夏石嘴山三中高三期末若平面向量与的夹角为23，（2，0），|+2|2 3，则 （）A.2 3B.2 3C.2D.2DC三、向量的夹角问题1.求两向量的夹角或夹角的余弦值例5 在平面直角坐标系x
9、Oy中，O是原点（如图所示），已知点A（16，12），B（-5，15），试求OAB.【解】由（16，12），（-5-16，15-12）（-21，3），得|162+12220，|21 2+3215 2，cosOABcos，其中-（16，12）（21，3）16（21）+123300，故cosOAB3002015 222，OAB45.解决向量夹角问题的方法及注意事项（1）先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积 以及|，再由cos 求出cos，也可由坐标表示cos 12+1212+12 22+22直接求出cos.由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.（2）由于0，利用cos 来判
10、断角时，要注意cos 0也有两种情况：一是为锐角，二是0.训练题1.2019广州高三一模已知a(2，4)，a-2b(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于（）A.45B.35C.35D.45B 2.2 0 1 9 广 东 汕 头 高 三 一 模 已 知 向 量(3，1)，(1，3)，(，2)，若（），则向量+与向量的夹角为（）A.6B.4C.3D.2D 2.已知夹角求参数的值或范围例6 已知（1，3），（3，m），若向量，的夹角为6，则实数m（）A.2 3B.3C.0D.3【解析】（1，3）（3，m）3+3 m，cos 6 221(3)223m6cos ，3+3 m221(3)223m6cos .
11、m 3.【答案】B 训练题 2019安徽淮北杜集区高一月考已知（-2，-1），（，1），若与的夹角为钝角，则的取值范围 为（）B【点拨】已知向量的夹角范围，求参数取值范围，解决方法是利用以下结论：0，2 0；2 0.又sin xcosx0，所以cosx0，所以sin x-cosx153.小结 1.向量数量积的坐标运算 设（1，1），（2，2），则 12+1 2，即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和，可简记为“对应相乘计算和”.2.向量的长度（模）的坐标运算（1）模的坐标运算：若（，），则|2+2.（2）两点间距离公式：设（1，1），（2，2），则（2 1，2 1），于是 2 1 2+2 1 2.3.向量的夹角的坐标运算 设向量（1，1），（2，2），则cos|12+1212+12 22+22.4.用向量的坐标表示两个向量平行与垂直的条件 设（1，1），（2，2），则：（1）0 12+1 20；（2）1 2 2 10.应用时要注意两者的区别，切忌混淆.
