1、第44讲 两直线的位置关系与点到直线的距离 第44讲 两直线的位置关系 与点到直线的距离 1两直线平行与垂直的判定 (1)两条直线的平行 对于两条不重合的直线l1与l2，其斜率分别为k1和k2，则有l1l2_；当l1和l2的斜率都不存在时，l1与l2也是平行关系 (2)两条直线的垂直 如果两直线l1、l2的斜率存在，设为k1和k2，则有l1l2_；当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线也互相垂直 知识梳理 第44讲 知识梳理 k1k21 k1k2 第44讲 知识梳理(2,2)2求两条直线的交点 如果两条直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20相交，由于交点同
2、时在两条直线上，交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必定是直线 l1和 l2的交点，因此两直线 l1与 l2相交 方程组 A1xB1yC10，A2xB2yC20有唯一解 如：下列两条直线 l1：3x4y20，l2：2xy20的交点是_ 3两种距离 (1)点到直线的距离 P(x0，y0)到直线l：AxByC0，距离d_.这个式子对A0或B0时的特殊情况下的直线仍然成立此时可以直接画出图形，观察即可得出如：点P(1,2)到直线y4的距离为d_.(2)两平行线间的距离 两条平行直线l1：AxByC10和l2：AxByC20的距离为
3、d_.第44讲 知识梳理|Ax0By0C|A2B2|CC|A2B2 2 要点探究 探究点1 两直线的位置关系第44讲 要点探究 例1 已知直线l1：mxy10，l2：2x(1m)y20.(1)m为何值时，l1l2?(2)m为何值时，l1l2?(3)当l1l2时，求l1、l2与x轴围成的三角形的面积 思路 将直线方程化为斜截式求出斜率，再利用两直线平行或垂直的条件进行判断 解答 容易验证，当 m0 或 m1 时，l1 与 l2 既不平行也不垂直下面讨论 m0 且 m1 的情况 两直线的斜率分别为 k1m，k221m.(1)当 k1k2，即m21m时，解得 m1(舍去)或 m2，此时 l1l2；(
4、2)当 k1k21，即2m1m1 时，解得 m13，此时 l1l2；(3)当 l1l2 时，两直线的方程分别为 l1：x3y30，l2：3xy30，它们与 x 轴交点坐标分别为 A(3,0)，B(1,0)，且它们的交点为 C35，65，l1、l2 与 x 轴围成的三角形的面积为 S12|AB|6512465125.第44讲 要点探究 第44讲 要点探究 已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，试求 的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.思路 利用两直线平行或垂直的条件进行判断，注意讨论斜率不存在的情况 第44讲 要点探究 解答(1)法一：当 sin 0 时，l1的斜率
5、不存在，l2的斜率为零，l1显然不平行于 l2；当 sin 0 时，k11sin，k22sin，欲使 l1l2，只要1sin 2sin，sin 22，当 k 4，kZ 时，l1l2.第44讲 要点探究 法二：由 A1B2A2B10，得 2sin2 10，即 sin2 12，sin 22.由 B1C2B2C10，得 1sin 0，即 sin 1，当 k 4，kZ 时，l1l2.第44讲 要点探究(2)A1A2B1B20 是 l1l2的充要条件，2sin sin 0，即 sin 0，k(kZ)当 k，kZ 时，l1l2.探究点2 距离问题第44讲 要点探究 例 2 已知点 P(1,1)，直线 l1
6、：2x3y20，l2：2x3ya0(a2)，两直线 l1与 l2之间的距离为 613.(1)求实数 a 的值；(2)过点 P 的直线 l 与 l1、l2分别交于点 A、B，证明：5PAPB0.思路(1)直接使用平行线间的公式求出a的值；(2)分别求出点P到直线l1、l2的距离，利用平面几何构造相似三角形，得出结论 第44讲 要点探究 解答(1)由平行线间的距离公式得|a2|13 613，所以|a2|6，解得 a4 或 a8.因为 a2，所以 a4.第44讲 要点探究(2)证明：由(1)直线 l2的方程为 2x3y40，如图，作 PMl1于 M，PNl2于 N，由点到直线的距离公式，可得|PM|
7、232|13 113，|PN|234|13 513，所以|PM|PN|15，由平面几何知识可得PAMPBN，所以|PA|PB|15，所以BP5PA，即 5PAPB0.第44讲 要点探究 直线 l 经过点 P(2，5)，且与点 A(3，2)和 B(1,6)距离之比为 12.求直线 l 的方程 思路 先考虑斜率不存在的情况当斜率存在时，设直线方程为点斜式，再化为一般式，用点到直线的距离求解 第44讲 要点探究 解答 当 lx 轴，l 与 A、B 的距离之比为 13，与题干矛盾，故可设直线 l 的方程为 y5k(x2)，即 kxy2k50.A(3，2)到直线 l 的距离 d1|3k22k5|k21|
8、k3|k21.B(1,6)到直线 l 的距离 d2|k62k5|k21|3k11|k21.第44讲 要点探究 d1d212，|k3|3k11|12，k218k170，解得 k11，k217.所求直线 l 的方程为 xy30 和 17xy290.探究点3 直线过定点问题第44讲 要点探究 例 3 已知直线 l：(1k)x(2k1)y60.(1)求证：不论 k 取何实数，直线 l 恒过定点；(2)k 为何实数时，原点到直线 l 的距离最大？思路(1)可用特殊值法先求出这个点，再证明直线恒过这个点，也可以利用直线系方程求解；(2)利用几何关系，可以知道原点到直线的距离就是这个距离的最大值 第44讲
9、要点探究 解答(1)方法一：取 k0，得 xy60，取 k1，得3y60，解构成的方程组，得点 P(4,2)，将该点坐标代入直线 l 的方程，则方程恒成立，说明不论 k 取何值，直线 l 都经过点 P(4,2)方法二：将直线 l 方程整理为 k(x2y)xy60，因为 k 可取任意实数，所以这个关于 k 的一次方程有无数组解，于是 x2y0，xy60，解得 x4，y2，即直线 l 过定点 P(4,2)第44讲 要点探究(2)事实上，直线 l 是经过定点 P(4,2)的一系列直线，当OPl 时，原点 O 到直线 l 的距离最大 因为直线 OP 的斜率为12，所以直线 l 的斜率为 2，所以方程为
10、 y22(x4)，即 2xy100，故 k15.第44讲 要点探究 点评 直线的点斜式方程 yy0k(xx0)表明不论 k 取何值，该方程表示的直线恒过定点(x0，y0)一般情况是形如 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 的直线，若对任意的 值恒成立，则该直线恒过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点该直线系方程中，当 0 时，表示直线 l1，但是不论 取何值，都不能表示直线 l2.探究点4 对称问题第44讲 要点探究 例 4 解答下列两题：(1)已知点 P(1,2)，在直线 l：xy40 上求一点 Q，使得|OQ|PQ|(O 为坐标原点)最小，并求这个最小值
11、；(2)求直线 l1：3xy0 关于直线 l：xy40 对称的直线 l2的方程 思路(1)根据平面几何知识，先求点P关于直线l的对称点M，则直线OM与直线l的交点就是所求点Q；(2)直线关于直线的对称问题可以转化为点关于直线的对称问题来解决 第44讲 要点探究 解答(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 M，坐标为 M(x0，y0)，则线段 PM 的中点坐标为1x02，2y02，直线 PM 的斜率为 k2y01x0，根据对称关系，得 1x022y0240，2y01x01，解得 x02，y05，所以 M 的坐标是 M(2,5)第44讲 要点探究 直线 OM 的斜率为 kOM52，方程为 y52
12、x，将其代入直线l 的方程，解得 x87，y207，即直线 OM 与直线 l 的交点坐标为87，207，该点就是所求点 Q 的坐标，此时，|OQ|PQ|达到最小值，最小值为|OM|252 29.所以直线 l 上的点 Q87，207，使得|OQ|PQ|取最小值，最小值为 29.第44讲 要点探究(2)方法一：解方程组 3xy0，xy40，得直线 l1与 l 的交点坐标 A(1,3)在直线 l1上任取一点 B(1，3)，设点 B 关于直线 l 对称的点为 B(x，y)，则线段 BB的中点x12，y32在直线 l 上，且直线 BB与直线 l 垂直，所 以 x12y3240，y3x11，解 得 x7，
13、y5，即B(7,5)又直线 l2过点 A(1,3)和 B(7,5)两点，由两点式方程，得y353 x171，即 x3y80.第44讲 要点探究 方法二：设 M(x0，y0)是直线 l1上任意一点，它关于直线 l的对称点为 N(x，y)，则线段 MN 的中点坐标为xx02，yy02，直线 MN 的斜率为yy0 xx0，依题意，得 xx02yy0240，yy0 xx01，解得 x0y4，y0 x4.因为 M(x0，y0)是直线 l1上任意一点，所以 3x0y00，所以 3(y4)x40，即 x3y80，此直线为所求直线 l2的方程 第44讲 要点探究 点评(1)解决点关于直线的对称问题要把握两点：
14、点 M与点 N 关于直线 l 对称，则线段 MN 的中点在直线 l 上，直线 l与直线 MN 垂直，这里的最小距离问题，实际上是物理上的光线的最短传播距离问题(2)若直线 l1、l2关于直线 l 对称，则有如下性质：若直线 l1与 l2相交，则交点在直线 l 上；若点 B 在直线 l1上，则其关于直线 l 的对称点 B在直线 l2上第(2)小题的方法一就是利用了上述的两条性质方法二则是用运动的观点直接求出轨迹方程方法二更具有普遍性 如果是关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题，如下面变式题：第44讲 要点探究 已知点P(2,1)，直线l1：2xy10和直线l2.(1)若l1与l2
15、关于P(2,1)对称，求直线l2的方程；(2)在(1)的条件下，若l1与l2也关于点Q(1，b)对称，求b的值 思路 利用中点公式求解 第44讲 要点探究 解答(1)设 M(x0，y0)是 l1上的任一点，N(x，y)是 M 关于点 P 的对称点，由中点公式，得 x0 x4，y0y2，所以 x04x，y02y，所以 2(4x)(2y)10，即 2xy70，即为所求直线 l2的方程 第44讲 要点探究(2)在 l1上取点 R(0,1)，则 R 关于 Q(1，b)的对称点为H(2,2b1)，且点 H 在直线 l2上，所以有42b170，解得 b5.规律总结 第44讲 规律总结 1判断两条直线的位置关系或求直线方程时，不要忘记考虑斜率不存在的情形具体地说，如果一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两条直线垂直；如果两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行 第44讲 规律总结 2点到直线的距离公式：设点P(x0，y0)，则 第44讲 规律总结 3.用公式 d|C1C2|A2B2求两平行线间的距离时，要先将两个方程中的 x、y 项系数化为相同 4对称问题是高考的热点和难点，点对称(即中心对称)要用到中点公式，轴对称要用到垂直平分光线反射问题、角平分线问题、折叠问题都是对称问题关于对称问题，有如下规律：第44讲 规律总结
