1、上一页返回首页下一页阶段一阶段二学业分层测评阶段三5 离散型随机变量的均值与方差第 1 课时 离散型随机变量的均值上一页返回首页下一页1理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值(重点)2会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题(难点)上一页返回首页下一页基础初探教材整理 离散型随机变量的均值 阅读教材 P57P59“练习”以上部分，完成下列问题1离散型随机变量的均值(1)设随机变量 X 的分布列为 P(Xai)pi(i1,2，r)，则 X 的均值为_(2)随机变量的均值 EX 刻画的是 X 取值的“_”【答案】(1)a1p1a2
2、p2arpr(2)中心位置上一页返回首页下一页2均值的性质(1)若 X 为常数 C，则 EX_.(2)若 YaXb，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 EYE(aXb)_.(3)常见的离散型随机变量的均值分布名称参数均值超几何分布N，M，n_二项分布n，p_【答案】(1)C(2)aEXb(3)nMN np上一页返回首页下一页1下列说法正确的有_(填序号)随机变量 X 的数学期望 EX 是个变量，其随 X 的变化而变化；随机变量的均值反映样本的平均水平；若随机变量 X 的数学期望 EX2，则 E(2X)4；随机变量 X 的均值 EXx1x2xnn.【解析】错误，随机变量的数学期望 E
3、X 是个常量，是随机变量 X 本身固有的一个数字特征错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平正确，由均值的性质可知错误，因为 EXx1p1x2p2xnpn.【答案】上一页返回首页下一页2已知离散型随机变量 X 的分布列为：X123P35310110则 X 的数学期望 EX_.【解析】EX1352 3103 11032.【答案】32上一页返回首页下一页质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_上一页返回首页下一页小组合作型离散型随机变量的均值公式及性质 已知随机变量 X 的分布列如下：X21012P14131
4、5m120(1)求 m 的值；(2)求 EX；(3)若 Y2X3，求 EY.上一页返回首页下一页【精彩点拨】(1)利用分布列的性质求 m；(2)利用离散型随机变量的均值公式求解；(3)利用离散型随机变量均值的性质求解【自主解答】(1)由随机变量分布列的性质，得141315m 1201，解得 m16.(2)EX(2)14(1)130151162 1201730.上一页返回首页下一页(3)法一：由公式 E(aXb)aEXb，得 EYE(2X3)2EX32173036215.法二：由于 Y2X3，所以 Y 的分布列如下：Y75311P14131516120所以 EY(7)14(5)13(3)15(1
5、)161 1206215.上一页返回首页下一页1该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，EXx1p1x2p2xnpn 求解2对于 aXb 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aXb)aEXb；也可以先列出 aXb 的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便上一页返回首页下一页再练一题1已知随机变量 X 的分布列为：X123P121316且 YaX3，若 EY2，求 a 的值【解】EX11221331653，EYE(aX3)aEX353a32，a3.上一页返回首页下一页求离散型随机变量的均值 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的
6、节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与均值【精彩点拨】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出 的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值上一页返回首页下一页【自主解答】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数(1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 P(A)1P(A)1C23C2611545.上一页返
7、回首页下一页(2)的所有可能取值为 0,1,2,3,4，且P(0)5C2613，P(1)4C26 415，P(2)3C2615，P(3)2C26 215，P(4)1C26 115.从而知 的分布列为01234P1341515215115所以 E0131 4152153 2154 11543.上一页返回首页下一页求离散型随机变量 的均值的步骤1根据 的实际意义，写出 的全部取值2求出 的每个值的概率3写出 的分布列4利用定义求出均值其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识上一页返回首页下一页再练一题2盒中装有 5 节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现
8、在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数 X 的分布列及均值【解】X 可取的值为 1,2,3，则 P(X1)35，P(X2)2534 310，P(X3)25141 110.上一页返回首页下一页抽取次数 X 的分布列为X123P35310110EX1352 3103 11032.上一页返回首页下一页探究共研型离散型随机变量的均值实际应用探究 1 某篮球明星罚球命中率为 0.7，罚球命中得 1 分，不中得 0 分，则他罚球一次的得分 X 可以取哪些值？X 取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量 X 可能取值为 0,1.X 取每个值的概率分别为 P(X0)0.3，P(X1)0.
9、7.探究 2 在探究 1 中，若该球星在一场比赛中共罚球 10 次，命中 8 次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为 8100.8.上一页返回首页下一页探究 3 在探究 1 中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为 00.310.70.7(分)因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量 X的数学期望来描述他总体得分的平均水平具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近 X 的均值的一个分数上一页返回首页下一页 随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中一等品 126 件，二等
10、品 50 件，三等品 20 件，次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元，设 1 件产品的利润(单位：元)为 X.(1)求 X 的分布列；(2)求 1 件产品的平均利润(即 X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品率提高为 70%，如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？上一页返回首页下一页【精 彩 点 拨】根据利润的意义写出的取值 写出的分布列 求出数学期望EX 利用期望回答问题【自主解答】(1)X 的所有可能取值有 6,2,1，2
11、.P(X6)1262000.63，P(X2)502000.25，P(X1)202000.1，P(X2)42000.02.上一页返回首页下一页故 X 的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)EX60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为 x，则此时 1 件产品的平均利润为EX60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0 x0.29)依题意，EX4.73，即 4.76x4.73，解得 x0.03，所以三等品率最多为 3%.上一页返回首页下一页1实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，
12、消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计2概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论上一页返回首页下一页再练一题3甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数 X 稳定在 7,8,9,10 环将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图 2-5-1甲和图乙所示图 2-5-1(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中 8 环的概率 P(X 乙8)，以及甲击中 9
13、 环以上(包括 9 环)的概率；上一页返回首页下一页(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)【解】(1)由图乙可知 P(X 乙7)0.2，P(X 乙9)0.2，P(X 乙10)0.35.所以 P(X 乙8)10.20.20.350.25.同理 P(X 甲7)0.2，P(X 甲8)0.15，P(X 甲9)0.3，所以 P(X 甲10)10.20.150.30.35.P(X 甲9)0.30.350.65.(2)因为 EX 甲70.280.1590.3100.358.8，EX 乙70.280.2590.2100.358.7，则有 EX 甲EX 乙，所以估计甲的水平更
14、高上一页返回首页下一页构建体系 上一页返回首页下一页1设 X 为随机变量，XBn，13，若随机变量 X 的数学期望 EX2，则 P(X2)等于()A.1316 B.4243 C.13243 D.80243【解析】因为 XBn，13，所以 EXn32，所以 n6，所以 P(X2)C26132234 80243.【答案】D上一页返回首页下一页2口袋中有编号分别为 1,2,3 的三个大小和形状相同的小球，从中任取 2个，则取出的球的最大编号 X 的均值为()【导学号：62690041】A.13B.23C2 D.83【解析】X 的取值为 2,3.因为 P(X2)1C2313，P(X3)C12C2323
15、.所以 EX21332383.【答案】D上一页返回首页下一页3某射手射击所得环数 的分布列如下：78910Px0.10.3y已知 的均值 E8.9，则 y 的值为_【解析】依题意得x0.10.3y1，7x0.82.710y8.9，即xy0.6，7x10y5.4，解得 y0.4.【答案】0.4上一页返回首页下一页4设离散型随机变量 X 可能的取值为 1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3)又X 的均值 EX3，则 ab_.【解析】P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，EX1(ab)2(2ab)3(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知 a
16、12，b23，ab16.【答案】16上一页返回首页下一页5袋中有 4 个黑球，3 个白球，2 个红球，从中任取 2 个球，每取到 1 个黑球记 0 分，每取到 1 个白球记 1 分，每取到 1 个红球记 2 分，用 X 表示取得的分数求：(1)X 的分布列；(2)X 的均值【解】(1)由题意知，X 可能取值为 0,1,2,3,4.P(X0)C24C2916，P(X1)C13C14C29 13，P(X2)C14C12C23C291136，上一页返回首页下一页P(X3)C12C13C29 16，P(X4)C22C29 136.故 X 的分布列为X01234P1613113616136(2)EX016113211363164 136149.上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评 点击图标进入
