1、第一章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.一个袋子里放有6个球,另一个袋子里放有8个球,每个球各不相同,从两袋子里各取1个球,不同取法的种数为()A.182B.14C.48D.91答案:C2.每天从甲地到乙地都有汽车8班,火车3班,轮船2班,某人从甲地到乙地,他共有不同的走法数为()A.13B.16C.24D.48答案:A3.李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择1套服装参加歌舞演出,则李芳有()种不同的选衣方式.A.24B.14C.10D.9解析:选择一套服装可分两类:第一类:穿衬衣和裙子共43=12种;第二类:穿连衣裙共2种.根
2、据分类加法计数原理,得不同的选衣方式为12+2=14种.答案:B4.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成,我们称这样的图案为“L”型(每次旋转90仍为“L”型图案),那么在由45个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的“L”型图案的个数是()A.16B.32C.48D.64解析:每四个小方格(“22”型)中有“L”型图案4个,题中方格纸共有“22”型小方格12个,所以共有“L”型图案412=48个.答案:C5.如图,连接正八边形的三个顶点的三角形中与正八边形有公共边的三角形有()个.A.40B.30C.20D.10解析:由题意知满足条件的三角形分为两类:第一类:与正八边形有两条公共边的三
3、角形有m1=8个;第二类:与正八边形有一条公共边的三角形有m2=84=32个.由分类加法计数原理知满足条件的三角形共有m1+m2=40个.答案:A6.如图,花坛内有5个花池,有5种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则栽种方案最多有()A.180种B.240种C.360种D.420种解析:本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的三个区域相邻).先涂区域1,有5种涂法,再涂区域2,有4种涂法,接着涂区域3,有3种涂法,涂区域4时应注意:区域2与区域4同色时区域4有1种涂法,此时区域5有3种涂法,区域2与区域4不同色时区域4有2种涂法,此时区域
4、5有2种涂法,故共有543(3+22)=420种栽种方案.答案:D7.如图,AC,有种不同走法.解析:AC的走法可分两类:第一类:AC,有2种不同走法;第二类:ABC,有22=4种不同走法.根据分类加法计数原理,得共有2+4=6种不同走法.答案:68.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个数为.解析:“渐升数”由小到大排列,形如12的“渐升数”共有6+5+4+3+2+1=21个;形如134的“渐升数”共有5个;形如135的“渐升数”共有4个.此时已有21+5+4=30个,因此按从小到大的顺序排列的“渐升数”的第30个必为
5、1359,所以应填1359.答案:13599.在某届奥运选手选拔赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.解析:分两步安排这8名运动员.第一步:安排甲、乙、丙三名运动员,共有1,3,5,7四条跑道可安排,所以安排方式有432=24种;第二步:安排另外5名运动员,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有54321=120种.所以安排这8名运动员比赛的方式有24120=2880种.答案:288010.已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从两个集合中各取一个元
6、素分别作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标,则第一、二象限内不同的点的个数是多少?解:可分两类:第一类:以集合M中的元素作为横坐标,集合N中的元素作为纵坐标.从集合M中任取一个元素有3种方法,要使点在第一、二象限内,则从集合N中只能取5,6两个元素中的一个,有2种方法.根据分步乘法计数原理,满足条件的点有32=6个.第二类:以集合N中的元素作为横坐标,集合M中的元素作为纵坐标.从集合N中任取一个元素有4种方法,要使点在第一、二象限内,则从集合M中只能取1,3两个元素中的一个,有2种方法.根据分步乘法计数原理,满足条件的点有42=8个.根据分类加法计数原理,满足条件的点共有6+8=14个.11.某
7、电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放,两个世博会宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?(用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序)解:完成这件事有三类方法.第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6,分6步完成这件事,共有332211=36种不同的播放方式;第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6,分6步完成这件事,共有332211=36种不同的播放方式;第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6,同样分6步完成这件事,共有332211=36种不同的播放方式.由分类加法计数原理得:6个广告不同的播放方式有36+36+36=108种.12.从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,求共有多少种不同的取法?解:我们先取一个数,然后再取使条件成立的另一个数.当第一个数为100时,能使条件成立的第二个数共有99个;当第一个数为99时,能使条件成立的第二个数共有97个(100这个数已经取过);当第一个数为98时,能使条件成立的第二个数共有95个(100,99这两个数已经取过);当第一个数为51时,能使条件成立的第二个数只有1个.所以共有99+97+95+1=(1+99)502=2500种不同的取法.
