1、四十一立体几何中的向量方法证明平行与垂直(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则()ABC，相交但不垂直D以上均不对C解析：因为n1n2，且n1n22(3)315(4)230，所以，既不平行，也不垂直2如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则点M的坐标为()A.(1,1,1) B.C. D.C解析：设AC与BD相交于点O，连接OE(图略)，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，所以AMEO.又O是正方形ABCD对角线的交点，所以M为线段EF的中
2、点在空间直角坐标系中，E(0,0,1)，F(，1)由中点坐标公式，知点M的坐标为.3(多选题)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点若平行六面体的各棱长均相等，则()AA1MD1PBA1MB1QCA1M平面DCC1D1DA1M平面D1PQB1ACD解析：，所以，所以A1MD1P.由线面平行的判定定理可知，A1M平面DCC1D1，A1M平面D1PQB1.4(2020泰安高三第五次模拟)在四面体ABCD中，BCCDBDAB2，ABC90，二面角ABCD的平面角为150，则四面体ABCD外接球的表面积为()A B C31D124B解析：取BC中点E为
3、坐标系原点，过点E作垂直于平面BCD的直线为z轴，EB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系由已知条件可得B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(0，0)，A(1，1)设四面体ABCD外接球的球心为O(x，y，z)，由|OA|OB|OC|OD|，得.解得，则球心O.所以四面体ABCD外接球的半径R|OA|，所以四面体ABCD外接球的表面积S4R24.故选B.5在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，1，6)，C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_2解析：由题意知0，|，又(6，2，3)，(x4,3，6)，所以解得x2
4、.6如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点若B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_1解析：以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1y)，B(1,1,1)，所以(x1,0,1)，(1,1，y)因为B1E平面ABF，所以(1,1，y)(x1,0,1)0，所以xy1.7如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AE
5、F.证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4，0,0)，B1(4，0,4)(1)设AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，所以(2,4,0)，(2,4,0)，所以，所以DENC.又因为NC平面ABC，DE平面ABC，所以DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)因为(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00，所以，即B1FEF，B1FAF.又因为AFFEF，所以B1F平面AEF
6、.8如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD.设E，F分别为PC，BD的中点求证：(1)EF平面PAD；(2)平面PAB平面PDC.证明：(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PAPD，所以POAD.因为侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OFAB.又ABCD是正方形，所以OFAD.因为PAPDAD，所以PAPD，OPOA.以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A，F，D，P，B，C.因为E为PC
7、的中点，所以E.易知平面PAD的一个法向量为.因为，且0.又因为EF平面PAD，所以EF平面PAD.(2)因为，(0，a,0)，所以(0，a，0)0，所以，所以PACD.又PAPD，PDCDD，PD，CD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.B组新高考培优练9(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)下列结论正确的是()AAPABBAPADC.是平面ABCD的法向量D.ABC解析：因为(2，1，4)(1，2，1)0，(4,2,0)(1,2，1)0，所以ABAP，ADAP，故选项A，B正确又与不平
8、行，所以是平面ABCD的法向量，故选项C正确由于(2,3,4)，(1,2，1)，所以与不平行，故选项D错误10如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点若D1FDE，则有()AB1EEB BB1E2EBCB1EEB DE与B重合A解析：以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，F(0，1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，(0,1，2)，(2,2，z)因为02122z0，所以z1，所以B1EEB.11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动
9、点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点若线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数有_个2解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，所以OP的中点坐标为.又知D1(0,0,2)，所以Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，所以xQyQ3，所以xy1，即点P坐标满足xy1.所以有2个符合题意的点P，即对应有2个.12如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)若AMMP，则点P形成的轨迹长度为_解析：以点O为坐标原点，OB，OS所在
10、直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示则A(0，1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，)，M.设P(x，y,0)，所以，.由y0，得y，所以点P的轨迹方程为y.根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2.13如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，平面PBC底面ABCD.求证：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.证明：(1)取BC的中点O，连接PO，因为PBC为等边三角形，所以POBC.因为平面PBC底面ABCD，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，所以PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设CD1，则ABBC2，PO，所以A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0，0，)，所以(2，1,0)，(1，2，)因为(2)1(1)(2)0()0，所以，所以PABD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M.因为，(1,0，)，所以100()0，所以，即DMPB.因为10(2)()0，所以，即DMPA.又因为PAPBP，PA平面PAB，PB平面PAB，所以DM平面PAB.因为DM平面PAD，所以平面PAD平面PAB.
