1、宁夏六盘山高级中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知,是虚数单位，
2、若，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知集合，则( )A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ）A.BCD4. 设向量满足，则（ ）A. B. C. D.5. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 6. 已知的三个内角所对的边分别为，若，且，则的面积( )A. B. C. D. 7. 算法统宗是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ）是否
3、输出结束输入开始A. B. C. D. 8. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )A. B. C. D. 9. 已知底面为长方形的四棱锥中，平面，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数，且，则（ ）A. 或 B. C. D. 或 11. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为( )A. B. C. D. 12. 已知是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.
4、若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 曲线在点处的切线方程为_.14. 若满足约束条件，则的最大值是_.15. 若，是第三象限角，则_.16. 在矩形中，为中点，将和分别沿翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_.三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23为选考题，考生根据要求作答（一） 必考题：共60分.17. （本小题满分12分）已知数列满足，设（）证明数列是等差数列，并求其通项公式；（）若，求数列的前项和.18.
5、 （本小题满分12分）在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：艺术爱好指数23456创新灵感指数33.544.55（I） 求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方程；（II） 企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培 训，培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为，培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为，其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？参考公式：回归方程
6、中，.参考数据：，19. （本小题满分12分） 已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.（I） 求抛物线的方程.（II） 过点作抛物线的切线，是的交点，求证：点在定直线上.20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，且.（I）证明：平面（II）当直线与平面所成角的正切值为时，求锐二面角的余弦值.21. （本小题满分12分）已知函数，.（I） 证明：当时，.（II） 若函数在有两个零点，证明：.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22. （本小题满分10分）选修4-
7、4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.（I） 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（II） 设点的直角坐标为，若直线与曲线分别交于两点，求的值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（I） 求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.（II） 若集合，求实数的取值范围.绝密启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试理科数学试卷注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫
8、米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的24. 已知,是虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D. 【解析】D. 以为复数，所以，故选D25. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【解析】C 因为，所以，故选C26. 函数的图象大致为（ ）A BCD【解析
9、】由表达式可知，函数为偶函数，排除A，当时，为正，所以，B正确.故选：B27. 设向量满足，则（ ）A. B. C. D.【解析】D.由已知得，得，所以 28. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）B. B. C. D. 【解析】A. 因为双曲线的离心率为，则，所以，所以渐近线方程为，故选A .29. 已知的三个内角所对的边分别为，若，且，则的面积( )A. B. C. D. 【解析】B.因为，所以有正弦定理得，又因为，所以，由余弦定理得，所以，.故选B.30. 算法统宗是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间
10、普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ）是否输出结束输入开始B. B. C. D. 【解析】C.31. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )B. B. C. D. 【解析】 C.对八雅进行全排列，方法总数为种，满足“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的方法书为种，则所求概率为，故选C.32. 已知底面为长方形的四棱锥中，平面，为中点，则异面直线
11、与所成角的余弦值为（ ）B. B. C. D. 【解析】D. 如图，去PB 中点F,连接AF，EF，因为E为PD中点，所以EF/BD，所以AEF（或补角）为异面直线与所成角.由已知得，所以，故选D.33. 已知函数，且，则（ ）B. 或 B. C. D. 或 【解析】A. 因为，所以函数图象关于对称，所以，所以或，故选A. 34. 已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为( )B. B. C. D. 【解析】 B.因为函数为偶函数，为奇函数，且满足，所以，得，由得，由于为增函数，所以当时函数取得最大值，故，即实数的最大值为，故选B.35. 已知是椭圆的左、右
12、焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【解析】A. 依次构成等差数列，设公差为，根据椭圆的定义得，因为，所以，所以，解得，所以，所以在和中，由余弦定理得，整理得，故选A .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分36. 曲线在点处的切线方程为_.答案：【解析】：因为，所以，所以在点处的切线方程为，即：.37. 若满足约束条件，则的最大值是_.答案：438. 若，是第三象限角，则_.答案：【解析】39. 在矩形中，为中点，将和分别沿翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_.答案：【解析】由题意知，所以，设外接圆的半径
13、为，则有正弦定理可得，所以，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.四、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23为选考题，考生根据要求作答（二） 必考题：共60分.40. （本小题满分12分）已知数列满足，设（）证明数列是等差数列，并求其通项公式；（）若，求数列的前项和.41. （本小题满分12分）在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数和创新灵感指数，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：艺术爱好指数23456创新灵感指数33.544.55（I） 求创新灵感指数关于艺术爱好指数的线性回归方
14、程；（II） 企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训，培训音乐次数对艺术爱好指数的提高量为，培训绘画次数对艺术爱好指数的提高量为，其中为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？参考公式：回归方程中，.参考数据：，解析：（I）设，有，（）员工甲经过20次的培训后，估计他的艺术爱好指数将达到，因此估计他的创新灵感指数为员工乙经过20次的培训后，估计他的艺术爱好指数将达到，因此估计他的创新灵感指数为由于，故培训后乙的创新灵感指数更高
15、42. （本小题满分12分） 已知抛物线与圆相交于两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点.（III） 求抛物线的方程.（IV） 过点作抛物线的切线，是的交点，求证：点在定直线上.【解析】（I）点的横坐标为，所以点的坐标为，2分代入解得，所以抛物线的方程为4分 （）抛物线，则，设5分所以切线的方程为，即同理切线的方程为7分联立解得点9分设直线的方程为，代入得，所以 11分所以点在上，结论得证.12分43. 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，且.（I）证明：平面（II）当直线与平面所成角的正切值为时，求锐二面角的余弦值.解：（I） 证明： 四边形为平行四边形
16、， ，2分 在中，. ，即，3分 又平面，4分又 平面5分（II） 由（I）知，是直线与平面所成角， ， 又平面，.6分 是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则有： ，7分由已知是平面的法向量， 8分设平面的法向量为， 10分， 11分 锐二面角的余弦值 12分44. 已知函数，.（III） 证明：当时，.（IV） 若函数在有两个零点，证明：.解析：（I），2分 当时， 在区间上单调递增 3分 ，不等式成立. 4分 （）函数在有两个零点，即方程在区间上有两解，5分 令，则 令，在区间单调递增6分又，故存在唯一的实数，使得，即8分所以在上单调递减，在区间上单调递增，且，9分，又因为，所以，
17、11分方程关于的方程在上有两个零点，由的图象可知，即.12分（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.（III） 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（IV） 设点的直角坐标为，若直线与曲线分别交于两点，求的值. 【解析】（I）将曲线的参数方程（为参数），化为普通方程，2分由直线的极坐标方程得：，4分将代入上式得：直线的方程为，5分（II）因为点的直角坐标为在直线上，可设直线的参数方程为(为参数），7分与曲线的方程联立，化简得：，设对应的参数分别为，则8分故10分45. 选修4-5：不等式选讲设函数.（III） 求函数的最小值及取得最小值时的的取值范围.（IV） 若集合，求实数的取值范围.【解析】（1）因为当且仅当，即时，上式等号成立，故函数的最小值为3，且取得最小值时的取值范围是.4分（2） 因为，所以函数化为6分令，其图像为过点,斜率为的一条直线.如图，则直线的斜率为，直线的斜率为，8分因为，所以，即.所以的取值范围为10分
