1、第三部分 增分篇 策略一活用4大数学思想2.数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想.借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想.数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.应用1 在求最值、零点等问题中的应用【典例1】(1)记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，则定义在区间0，)上的函数f(
2、x)minx21，x3,13x的最大值为()A5 B6C8D10(2)已知函数f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_切入点：(1)画出函数f(x)的图象，借助图象，直观可得最值(2)画出yf(x)及yb的图象，数形结合求解(1)C(2)(3，)(1)在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图由图可知，在实数集R上，minx21，x3,13x为yx3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y13x点C下方的部分的组合图，显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3
3、,13x取得最大值解方程组yx3，y13x得点C(5,8)所以f(x)max8.(2)作出f(x)的图象如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2.要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm2m，即m23m0.又m0，解得m3.【对点训练1】(1)(2019天津高考)已知函数f(x)2 x，0 x1，1x，x1.若关于x的方程f(x)14 xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A.54，94B.54，94C.54，94 1 D.54，94 1(2)(2019乌鲁木齐高三质量检测)函数f(x)12x 的图象与函数g(x)2sin2 x在区间0,4上的所有交点为(x1，y
4、1)，(x2，y2)，(xn，yn)，则f(y1y2yn)g(x1x2xn)_.(1)D(2)12(1)如图，分别画出两函数yf(x)和y14xa的图象 先研究当0 x1时，直线y14xa与y 2x的图象只有一个交点的情况 当直线y14xa过点B(1,2)时，214a，解得a94.所以0a94.再研究当x1时，直线y14xa与y1x的图象只有一个交点的情况：相切时，由y1x214，得x2，此时切点为2，12，则a1.相交时，由图象可知直线y14xa从过点A向右上方移动时与y1x的图象只有一个交点过点A(1,1)时，114a，解得a54.所以a54.结合图象可得，所求实数a的取值范围为54，94
5、1故选D.(2)如图，画出函数f(x)和g(x)在0,4上的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)12012.应用2 在求解不等式或参数范围中的应用【典例2】已知函数f(x)x22x，x0，lnx1，x0.若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0B(，1C2,1D2,0切入点：先画出函数的图象，数形结合求解D 作出函数y|f(x)|的图象，如图，当|f(x)|ax时，必有ka0，其中k是yx22x(x0)在原点处的切线斜率，显然，k2.a的取值范围是2,0【对点训练2】
6、(1)(2019武昌模拟)设x，y满足约束条件x4y30，x2y90 x1，则z2xy的取值范围是()A2,6B3,6C3,12D6,12(2)(2019全国卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1时，f(x)x(x1)若对任意x(，m，都有f(x)89，则m的取值范围是()A.，94B.，73C.，52D.，83(1)C(2)B(1)不等式组 x4y30，x2y90，x1表示的平面区域如图中三角形ABC(包括边界)所示，作出直线2xy0并平移，可知当直线z2xy经过点A时，z取得最小值，解方程组x1，x4y30，得x1y1，即A(1,1)，所以zmin2113
7、，当直线z2xy经过点B时，z取得最大值，解方程组x4y30，x2y90，得x5y2，即B(5,2)，所以zmax25212，所以z的取值范围为3,12，故选C.(2)当1x0时，0 x11，则f(x)12 f(x1)12(x1)x；当1x2时，0 x11，则f(x)2f(x1)2(x1)(x2)；当2x3时，0 x21，则f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得 f(x)12x1x，1x0，xx1，0 x1，2x1x2，1x2，22x2x3，2x3，由此作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知当2x3时，令22(x2)(x3)89，整理，得(3x7)(3x8)0，解得
8、x73或x83，将这两个值标注在图中要使对任意x(，m都有f(x)89，必有m 73，即实数m的取值范围是，73，故选B.应用3 在平面向量中的应用【典例3】已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.21 B.2C.21 D.22切入点：a，b是单位向量，ab0可联想坐标法，以a，b所在直线建系求解C|a|b|1，且ab0，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)cab(x1，y1)|cab|1，x12y121，即(x1)2(y1)21.又|c|x2y2，如图所示 由图可知，当c对应的点(x，y)在点C处时，|c|有最大值且|c|max12121 2
9、1.【对点训练3】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为 3，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A.31 B.31C2D2 3A 设O为坐标原点，aOA，bOB(x，y)，e(1,0)，由b24eb30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆因为a与e的夹角为3，所以不妨令点A在射线y3x(x0)上，如图，数形结合可知|ab|min|CA|CB|31.故选A.应用4 在解析几何中的应用【典例4】(1)已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，
10、则m的最大值为()A7B6C5D4(2)已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_切入点：(1)APB90，则点P落在以AB为直径的圆上，画出图形，结合点与圆的位置关系求解(2)画出图形，结合图形知APF的周长取得最小值时P点的位置(1)B(2)2，12 (1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|12|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|32425，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.
11、(2)因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知APF的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2,4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y012，故使APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为2，12.【对点训练4】已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_22 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SPAC12|PA|AC|12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|31418|32423，从而|PA|PC|2|AC|222.所以(S四边形PACB)min212|PA|AC|2 2.Thank you for watching!
