1、山东省聊城市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】复数在复平面内对应的点为,进而得到该点所在象限即可【详解】由题,在复平面内对应的点为,在第二象限,故选:B【点睛】本题考查复数在复平面中的位置,考查复数的坐标表示,属于基础题2. 向量，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先计算与，再利用向量夹角公式计算得到答案.【详解】设
2、为与的夹角，则，又，. 故选：.【点睛】本题考查了坐标计算向量夹角.3. 某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（ ）A. 甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B. 甲班平均成绩高于乙班平均成绩C. 甲班学生比乙班学生发挥稳定D. 甲班不及格率高于乙班不及格率【答案】D【解析】【分析】根据条形统计图和扇形图，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】：因为每个班的总人数不确定，故无法比较；：甲班及格人数占比，乙班及格人数占比，故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；：无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；：甲班不及格率为，乙班
3、不及格率为，故正确.故选：.【点睛】本题考查条形统计图和扇形图，属简单题.4. 已知为第二象限角，则tan2（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数关系中的平方关系，结合已知条件求得，再用倍角公式即可求得结果.【详解】因为，结合，即可得，解得或，又是第二象限角，故，则，.故.故选：【点睛】本题考查同角三角函数关系和倍角公式的应用，属综合基础题.5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱DC的中点，则异面直线AE与BC1所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】平移直线至，设出正方体棱长，再解三角形即可.【详解】因为ABCDA1
4、B1C1D1是正方体，故可得/，连接，如下图所示：则即为异面直线AE与BC1所成角或其补角，不妨设正方体棱长为，在三角形中，.故可得.又异面直线夹角的范围为，故异面直线AE与BC1所成角的余弦值为.故选：.【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，属基础题.6. 角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求的正余弦三角函数，再求的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案.【详解】由角的终边经过点，得，因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，所以，故选：.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式
5、.7. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosAbcosB，且c2a2+b2ab，则ABC的形状为（ ）A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理将边化角转化acosAbcosB，逆用余弦定理转化c2a2+b2ab，即可判断三角形形状.【详解】因为acosAbcosB，故可得，即，又，故可得或；又c2a2+b2ab，即，又，故可得.综上所述，.故三角形是等边三角形.故选：.【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，属综合基础题.8. 用五点法作函数yAsin（x+）（A0，0，|）的图象时，
6、得到如下表格：则A，的值分别为（ ）00A. 4，2，B. 4，C. 4，2，D. 4，【答案】A【解析】【分析】利用五点法作正弦型函数图象的过程，结合函数最值以及周期，即可求得参数值，则问题得解.【详解】由表格可知，函数的最大值为，又，故可得；又函数最小正周期，解得；故此时，又当时，故可得，解得.故选：.【点睛】本题考查五点法作正弦型三角函数的图象，涉及参数值得求解，属基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 为了得到函数的图象，可作如下变换（ ）A. 将ycosx的图象上所有点
7、向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到B. 将ycosx的图象上所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到C. 将ycosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到D. 将ycosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象变换对参数的影响，结合选项即可判断和选择.【详解】为得到的图象，可将的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐
8、标不变而得到；也可以将ycosx的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到.故选：.【点睛】本题考查三角函数图象的变换，属简单题.10. 下列命题不正确的是（ ）A. 过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直B. 如果平面平面，平面平面，那么平面平面C. 已知a，b为直线，为平面，若a，b，则abD. l，m，n为直线，为平面，m，n，“l”的充要条件是“lm，且ln”【答案】BCD【解析】【分析】根据线面、面面位置关系以及线面垂直的判定和性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对：过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直，
9、该结论显然正确；对：若平面平面，平面平面，则平面和平面关系任意，故错误；对：若a，b，则关系不确定，可以平行、成异面直线或相交，故错误；对：当，则可以得到；当时，若平行，则无法推出，故错误.综上所述，错误的有.故选：.【点睛】本题考查线面以及面面关系的判断，涉及线面垂直的证明及其性质，属综合基础题.11. 下列结论正确的是（ ）A. 已知是非零向量，若，则（）B. 向量，满足|1，|2，与的夹角为60，则在上的投影向量为C. 点P在ABC所在的平面内，满足，则点P是ABC的外心D. 以（1，1），（2，3），（5，1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向
10、量数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对：因为，又，故可得，故，故选项正确；对：因为|1，|2，与的夹角为60，故可得.故在上的投影向量为，故选项正确；对：点P在ABC所在的平面内，满足，则点为三角形的重心，故选项错误；对：不妨设，则，故四边形是平行四边形；又，则，故四边形是矩形.故选项正确；综上所述，正确的有：.故选：.【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.12. 如图，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为达BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于
11、点P，则（ ）A. APEFB. 点P在平面AEF内的射影为AEF的垂心C. 二面角AEFP的余弦值为D. 若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24【答案】ABC【解析】【分析】根据线面垂直的判定和性质、垂心的定义，二面角的定义，以及棱锥外接球表面积的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】根据题意，平面，故平面；因为平面，故平面；故可得两两垂直.对：由平面平面，故，故正确；对：过作平面的垂线，连接，延长交于，如下所示：由可知，又平面平面，故，又平面，故可得：平面，又平面，故可得，即点在三角形底边的垂线上；同理可证，点在三角形底边的垂线上.故点在平面的投影即
12、为三角形的垂心，故正确；对：根据中所求，为三角形的垂线，又，根据三线合一故可得点为中点.又，故三角形为等腰三角形，连接，则根据二面角的定义，显然即为所求二面角.在三角形中，又，故.故二面角AEFP的余弦值为，则正确；对：因为两两垂直，故三棱锥PAEF的外接球半径和长宽高分别为的长方体的外接球半径相等.故其外接球半径，故外接球表面积，故错误.综上所述，正确的为.故选：.【点睛】本题综合考查线面垂直的证明以及线面垂直的性质，二面角的角球，棱锥外接球的求解，属综合中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 复数2+i为一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）的一个根，则复数|a+b
13、i|_【答案】【解析】【分析】利用复数的运算，将方程的根代入即可求得，再求复数模长即可.【详解】因为2+i为一元二次方程x2+ax+b0，故可得，则，又，故，解得则.故答案为：.【点睛】本题考查复数的运算，以及复数模长的求解，属综合基础题.14. 为了了解某设备生产产品质量的稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量（单位：克）如下：495 500 503 508 498 500 493 500 503 500质量落在区间s，+s（表示质量的平均值，s为标准差）内的产品件数为_【答案】7【解析】【分析】根据平均数和标准差的计算公式，结合数据，即可求得结果.【详解】由题可得：；，故可得.则区间s，+
14、s即为.故落在该区间的产品件数为：.故答案为：.【点睛】本题考查平均数和标准差的计算，属综合简单题.15. 直角梯形ABCD中，ADAB，ADBC，AD2，AB1，BC3，现将梯形ABCD绕边AD所在直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为_，表面积为_【答案】 (1). (2). （7+）【解析】【分析】根据旋转后几何体的特征，结合圆柱和圆锥表面积和体积计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥后的几何体.其中圆柱体的母线长，底面半径，圆锥体的底面半径，圆锥的高则该旋转体体积；该旋转体的表面积.故答案为：；.【点睛】本题考查圆柱体和圆锥体体积和表面积的计算
15、，属综合基础题.16. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点P若，则的值为_【答案】【解析】【分析】用向量表示，结合三点共线，即可求得参数值.【详解】根据题意，因为三点共线，故可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量共线定理的推论，涉及向量的线性运算，属综合基础题.四、解答题：本题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 一家保险公司决定对推销员实行月标管理，按以往月销售额（单位：千元）把推销员分为甲、乙、丙三个层次，各层次人数如下：甲乙丙月销售额20，2515，20）10，15）人数12024090（1）为了了解推
16、销员对目标设定的意见，决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分配的分层随机抽样抽取30人进行座谈，请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少人？（2）确定销售日标是否合适，直接影响到公司经济效益，如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力现已知按上面的方法抽取了部分推销员的月销售额（单位：千元）：14.2 15.8 17.7 19.2 22.4 18.2 16.4 21.8 15.6 24.623.2 19.8 12.8 13.5 16.3 11.5 13.6 14.9 15.7 16.217.0 17.2 17.8 18.0 18.4 1
17、9.5 20.5 22.1 24.0 24.8公司为了使70%的推销员能够完成销售目标，根据这组样本数据，应将销售目标定为多少比较合理？【答案】（1），；（2）元，理由见详解.【解析】【分析】（1）根据表中数据求得抽样比，即可据此求得每层抽取的人数；（2）将数据从小到大进行排序，求得第百分位数即可.【详解】（1）根据表中数据可得，三层共有人，抽样比为，故应该从甲层抽取人；从乙层抽取人；从丙层抽取人.（2）将个数据按照从小到大的顺序进行排序，可得：，为使得的销售员完成目标，只需求出第百分位数即可.由可知样本数据的第百分位数为第项与第项数据的平均数，即.则应该将销售目标定位元比较合理.【点睛】本题
18、考查分抽抽样，以及百分位数的计算，属综合基础题.18. 已知向量，满足|1，|2，且与不共线（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；（2）若向量与的夹角为60，求2+与的夹角【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据向量共线定理，结合已知条件，列出方程，则问题得解；（2）根据题意求得，结合数量积运算，即可求得向量之间的夹角.【详解】（1）因为向量+k与k+2为方向相反的向量，故可设，则，又与不共线，故可得，解得.（2）向量与的夹角为60，故可得.故，.故又，则.【点睛】本题考查向量共线定理的应用，以及向量夹角的求解，属综合基础题.19. 2020年是我国全面打赢脱贫攻坚战
19、收官之年某山区地方政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展当地的特色黄桃种植产业为了了解某村黄桃的质量（单位：克）分布规律，现从该村的黄桃树上随机摘下了n个黄桃组成样本进行测重，其质量分布在区间225，525内，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示，已知质量分布在区间275，325）内的有16个（1）求n的值和质量落在区间425，475）內的黄桃个数；（2）已知该村的黄桃树上大约有10万个黄桃待出售，某电商欲以20元/千克的价格收购该村的黄桃，请估计该村黄桃的销售收入【答案】（1），个（2）元【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图结合频率的计算公式，即可容易求得结果；（2）根据频率分
20、布直方图计算黄桃质量的平均数，即可容易估算销售收入.【详解】（1）因为质量分布在区间275，325）内的黄桃有16个，故可得，故可得；，解得，则质量落在区间425，475）內的黄桃个数为个.（2）该村黄桃的单个质量的平均数为：（克），故该村黄桃的总质量大约为：（千克）故该村黄桃销售收入的预测值为元.【点睛】本题考查频率分布直方图中的频率表的计算，以及平均数的计算，属综合基础题.20. 如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD满足ABAD，BCAD，AD2BC，且M为PA的中点（1）求证：BM平面PCD；（2）若平面PAD平面ABCD，且DPDA，求证：平面BDM平面PAB【答案】（1）证
21、明见详解；（2）证明见详解.【解析】分析】（1）构造平行四边形，根据线线平行即可证明线面平行；（2）先证平面，即可由线面垂直推证面面垂直.【详解】（1）取中点为，连接，如下所示：在三角形中，因为分别为中点，故可得/；又/；故可得/，故四边形为平行四边形，故可得/，又平面平面，故/平面.即证.（2）因为，为中点，故可得；又平面平面，且其交线为，又平面，故可得平面平面，则；又平面，故可得平面，又平面，故平面平面.即证.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及由线面垂直推证面面垂直，涉及面面垂直的性质，属综合基础题.21. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ABC的面积为5现有以下
22、三个条件：（2c+b）cosA+acosB0；sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC0；请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解已知向量（4sinx，4），（cosx，sin2x），函数在ABC中，且_，求2b+c的取值范围【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算，结合恒等变换，即可求得；选择由正弦定理将边化角，即可求得；选择，利用正弦定理以及余弦定理即可求得；选择利用面积公式以及余弦定理即可求得；无论选择哪个条件，角都一样大小.利用正弦定理，构造关于角的函数，利用三角函数的值域，即可求得结果.【详解】根据题意，.又.选择：（2c+b）cosA+acosB0
23、，由正弦定理可得：，故可得，又，故可得，又，故.选择：sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC0，由正弦定理得：，由余弦定理得，有，故.选择：，由面积公式以及余弦定理可得：，解得，又，故可得.故不论选择哪个条件，都有.又.则.故，又，故，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的运算、三角恒等变换以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范围问题的求解，属综合中档题.22. 亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是我市的地标建筑，也是全球首座建筑与摩犬轮相结合的城市地标（1）某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点距地面的高度，选取了与点在地面上的射影在同一水平面内的两个测量基点（如图所示）；
24、现测得，BC两点间的距离是米，求最高点距地面的高度；（2）若摩天轮最低点距地面的距离米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要分钟从游客进人摩天轮位于最低点处的轿厢开始计时，转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，（单位：米）关于（单位：分钟）的函数解析式；若只有当轿厢的高度超过米时才能俯瞰东昌湖的关景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间可以俯瞰东昌湖的美景【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理可以求的长，利用，可以求得（2）建立坐标系，求出摩天轮的半径，然后根据周期性和三角函数的定义，可求出游客距离地面的高度关于的函数解析式.令，即可得的范围
25、，再利用，可得的范围.【详解】（1）由题意得： ，在中，由正弦定理得： ，即 ，又 ，所以 ，即 ，所以最高点距地面的高度米.（2）以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以摩天轮的半径为米，所以米，由题意知：分钟转一周，所以每分钟转弧度，设从点开始计时，转动分钟后轿厢运到到点，则转过的弧度，所以 ，设 ，由三角函数的定义可得： ，又因为 所以游客距地面的高度关于的函数解析式为.当轿厢的高度超过米时，即，所以，即，所以，解得 ，因为，所以只有当时，符合题意，即旋转一周中有分钟可以俯瞰东昌湖美景.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角，求三角函数解析式，解三角函数不等式等用数学知识解决实际问题，属于中档题.
