1、河南省郑州市2020届高三数学第二次质量预测试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设函数定义域为，函数的定义域为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出两个函数的定义域，进而求出即可.详解】由题意，对于函数，解得，即；对于函数，解得，即，所以.故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题.2.已知复数，若，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出的表达式，再结合，可求出的值，即可求出答案.【详解】由题意，所以，解得，故.故选：B.【点睛
2、】本题考查共轭复数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.3.已知命题：，则；命题：若，则，下列命题为真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质可知命题p为真命题，则p为假命题，命题q是假命题，则q是真命题因此pq为真命题【详解】命题：，则，则命题p为真命题，则p为假命题；取a=-1，b=-2，ab，但a2b2，则命题q是假命题，则q是真命题pq是假命题，pq是真命题，pq是假命题，pq是假命题故选B【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了全称命题的否定，训练了函数零点存在性定理的应用方法，考查复合命题的真假判断，是基础题4.设是两条不同的直线，是三个
3、不同的平面，给出下列命题，正确的是（ ）A. 若，则B. ，则C. 若，则D. ，则【答案】C【解析】试题分析：A错，因为没说明垂直于两平面的交线，B错，垂直于同一平面的两个平面相交或平行，C正确，因为平面存在垂直于的线，D错，因为与有可能相交故选C考点：线线，线面，面面位置关系5.郑州市2019年各月的平均气温数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）A. 20B. 21C. 20.5D. 23【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可【详解】解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23， 28，32，34，故中位数是：，故选：C【点睛】
4、本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题6.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：设输入，第一次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，满足退出循环的条件；故，且，解得：，故选：B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题7.是边长为1的等边三角形，点
5、分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设，.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来8.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 10C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知直线
6、与渐近线垂直，可求出的值，进而由可求出离心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，又因为直线的斜率为，所以与该直线垂直的渐近线方程为，则，即，故双曲线的离心率.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线与离心率，考查垂直直线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除A、B选项，再根据时，时，可选出答案.【详解】由题意，函数的定义域为，又，即，所以是偶函数，可排除A、B选项；当时，；当时，显然只有选项D符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，常常利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特
7、殊值等方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.10.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积将，称为基尼系数对于下列说法：越小，则国民分配越公平；设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；其中正确的是：（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合基尼系数曲线的特点，可判断出正确；由劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知，均有，可知错误；再结合对应的图形特征，可
8、求出对应的，进而可求出，即可判断是否正确.【详解】对于，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以正确；对于，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知，均有，可得，所以错误；对于，易知表示圆心为，半径为1的圆弧，则，故，所以正确.故选：B.【点睛】本题考查新定义，考查不等式证明，考查几何图形面积的计算，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球表面积为，则正方体外接球的体积为( )A. B. 36 C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱
9、长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果.【详解】设正方体的棱长为，则，因为三棱锥内切球的表面积为，所以三棱锥内切球的半径为1，设内切球的球心为， 到面的距离为，则，又，又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，正方体外接球的半径为，其体积为，故选B.【点睛】解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体
10、积列方程求出内切球半径.12.已知函数，当，且时，方程根的个数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】分别判断两个函数的奇偶性及单调性，进而做出二者的图象，根据图象交点个数可得出答案.【详解】由题意，函数，在上是奇函数，且是反比例函数，又，所以在上是奇函数.又，所以时，；时，；时，；时，.所以在上单调递减；在上单调递增；在单调递减；在上单调递增.作出的图象，如下图所示，则与的图象在上有1个交点；，则与的图象在上有1个交点；，则与的图象在上有1个交点；，则与的图象在上有1个交点.故与的图象在上有4个交点，根据对称性可知，二者图象在上4个交点，故当，且时，方程根的个数是8
11、.故选：D.【点睛】本题考查函数图象交点问题，考查函数图象的应用，考查学生的推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.幂函数的图象关于轴对称，则实数_.【答案】2【解析】【分析】根据幂函数的定义得到的值，再根据图象关于轴对称验证的值.【详解】函数是幂函数，解得：或，当时，函数的图象不关于轴对称，舍去，当时，函数的图象关于轴对称，实数【点睛】幂函数，若为偶数，则图象关于轴对称.14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为_.【答案】【解析】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数得种结果，由直线与圆有公共点可得，故满足的结果有种，由古典概型的计
12、算公式可得：直线与圆有公共点的概率为，应填答案15.在中，内角所对的边分别为，且，则的面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】由正弦定理边角转化，并结合，可得到，从而可得，即可求出角，再结合余弦定理，可得到，利用基本不等式可求得，进而由，可求出答案.【详解】由正弦定理可得，又，所以，则，因为，所以，即，故.由余弦定理，可得，又，当且仅当时等号成立，所以，且.故答案为：.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国（居民消费价格指数），同比上涨，上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪
13、肉加上其他畜肉影响上涨3.27个百分点下图是2019年11月一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有_一篮子商品中权重最大的是居住一篮子商品中吃穿住所占权重超过猪肉在一篮子商品中权重为猪肉与其他禽肉在一篮子商品中权重约为【答案】【解析】【分析】结合两个图，对四个结论逐个分析可得出答案.【详解】对于，一篮子商品中居住占，所占权重最大，故正确；对于，一篮子商品中吃穿住所占，权重超过，故正确；对于，由第二个图可知，猪肉在一篮子商品中权重为，故正确；对于，由第二个图可知，猪肉与其他禽肉在一篮子商品中权重约为，故错误.故答案为：.【点睛】本题考查统计图的识别和应用，考查学生的分析问题、解决问题的能
14、力，属于基础题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知数列前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由时，时，可求出的通项公式；（2）由时，时，进而结合裂项相消求和法可求出.【详解】（1）当时，当时，而，所以数列的通项公式为.（2）当时，当时，所以，当时，当时，又，符合，所以【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用裂项相消法求数列的前项和，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.在改革
15、开放40年成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表：年份201420152016201720182019年份代码123456年产量（万吨）6.66.777.17.27.4（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程（2）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，（参考数据：，计算结果保留到小数点后两位）【答案】（1）；（2）7.56万吨【解析】【分析】（1）先求出和的值，然后求出，进而由，可求出，从而可求出关于的线性回归方程；（2）当年份为2020年时，年份代码为，由（1）求得的回归方程，求出的值即可【详解】（1）由题意
16、可知：，所以，又，故关于的线性回归方程为（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码为，此时所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19.如图，三棱柱中，平面平面，是的中点（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结交于点，则为的中点，可知，进而由线面平行的判定定理可证明平面；（2）在中，利用余弦定理可求得，进而可知，即，再结合平面平面，可知平面，进而求出，从而由可求出答案.【详解】（1）连结交于点，则为的中点，因为是的中点，所以，又平面，平面，所以平
17、面（2），又平面平面，平面平面，平面，平面，四边形为菱形，为正三角形，.【点睛】本题考查线面平行证明，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆的短轴长为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线平行于直线，且与椭圆交于两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由短轴长为，离心率为，可求出椭圆中的值，进而可求出椭圆的标准方程；（2）由直线平行于直线，可设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得到关于的一元二次方程，由，可求得，再结合为钝角，可得，且，将该式展开，并结合韦达定理，可求出，进而可求出的取值
18、范围，再结合直线在轴上的截距，可求出的取值范围【详解】（1）由题意可得，所以，解得，所以椭圆的标准方程为（2）由于直线平行于直线，即，设直线在轴上的截距为，所以的方程为联立，得，因为直线与椭圆交于两个不同的点，所以，解得设，则，因为为钝角等价于，且，所以，即，且，所以直线在轴上的截距的取值范围：因为直线在轴上的截距，所以的取值范围是：【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.已知函数，曲线在点处的切线方程为（1）求实数的值，并求的单调区间（2）求证：当时，【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；（2）详见解析【解析】【分析】（1）
19、对求导，由，可求出的值，进而可得解析式，求出单调性即可；（2）当时，要证即证，进而构造函数，求导并判断单调性可知，从而可证明结论.【详解】（1），又曲线在点处的切线方程为，则，即，令，得，即；令，得，即，所以的单调增区间是，单调减区间是（2）当时，要证即证，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即当时，【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22.在极坐标系中，圆的方程为以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴
20、建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）（）求圆的标准方程和直线的普通方程，（）若直线与圆交于两点，且求实数的取值范围【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）利用极坐标方程进行转化即可求圆的标准方程，消去参数即可求直线的普通方程；（）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可【详解】解：（）因为圆的方程为，所以圆的直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），消去得到（）由圆的方程可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，即，则，即，则，则，由解得，解得即实数的取值范围是【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力，属于中档题23. 已知函数（1）当时，解不等式；（2）若，求的最小值【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=2时对应的不等式即可；（2）由f（x）a|x+3|得a，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当时，的解集为： （2）由得：由，得：得（当且仅当或时等号成立），故的最小值为.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
