1、课时作业(四十九)立体几何中的向量方法(一)证明空间中的位置关系一、选择题1(2016天津模拟)若直线l的方向向量为a(1,0,2),平面的法向量为n(2,0,4),则()Al BlCl Dl与相交解析:a(1,0,2),n(2,0,4),n2a,即an.l,故选B。答案:B2设平面的法向量为(1,2,2),平面的法向量为(2,4,k),若,则k等于()A2 B4C4 D2解析:因为,所以,所以k4。答案:C3(2016锦州模拟)直线l的方向向量s(1,1,1),平面的法向量为n(2,x2x,x),若直线l平面,则x的值为()A2 BC. D解析:由已知得sn0,故121(x2x)1(x)0,
2、解得x。答案:D4.(2016珠海模拟)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1EA1D,AFAC,则()AEF至多与A1D,AC之一垂直BEFA1D,EFACCEF与BD1垂直DEF与BD1异面解析:以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC。故选B。答案:B5如图,正方形ABCD与矩形A
3、CEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB,AF1,M在EF上,且AM平面BDE,则M点的坐标为()A(1,1,1) B.C. D.解析:由已知得A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(x,x,1)。则(x,x,1),(,0),(0,1)。设平面BDE的一个法向量为n(a,b,c)。则即解得,令b1,则n(1,1,)。又AM平面BDE,所以n0。即2(x)0,得x,所以M。答案:C6(2016太原模拟)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1MAN,则MN与平面BB1
4、C1C的位置关系是()A斜交 B平行C垂直 D不确定解析:建立如图所示的坐标系,由于A1MAN,则M,N,又C1D1平面BB1C1C,所以(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量。因为0,所以,所以MN平面BB1C1C,故选B。答案:B二、填空题7(2016兰州模拟)已知平面内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一个法向量n(1,1,1)。则不重合的两个平面与的位置关系是_。解析:由已知得,(0,1,1),(1,0,1),设平面的一个法向量为m(x,y,z),则得得令z1,得m(1,1,1)。又n(1,1,1),所以mn,即mn,所以。答案:平行8如图,正方体
5、ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的长度之和为_。解析:以直线D1A1,D1C1,D1D分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设CEx,DFy,则E(x,1,1),F(0,0,1y),A(1,0,1),B1(1,1,0),(1,0,y),(x1,0,1)又平面ABF,B1EAF,即0,xy1.答案:19(2016成都模拟)空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:ADMN;MN平面CDE;MNCE;MN,CE异面。则所有的正确命题为_。解析:如图,设a,b,c,则
6、|a|c|且abcb0。(bc)(ab)(ca),(ca)b(cbab)0,故ADMN,故正确;ca2,故MNCE,故MN平面CDE,故正确;正确时一定不正确。答案:三、解答题10(2016四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点。(1)求证:AG平面BEF。(2)试在棱BB1上找一点M,使DM平面BEF,并证明你的结论。解析:(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E,F,G,因为,而,所以,故与平面BEF共面,又因为AG不在平面BE
7、F内,所以AG平面BEF。(2)设M(1,1,m),则(1,1,m),故0,0,所以m0m,所以M为棱BB1的中点时,DM平面BEF。11.(2016泰安模拟)如图所示,在四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,PC2,在四边形ABCD中,BC90,AB4,CD1,点M在PB上,PB4PM,PB与平面ABCD成30的角,求证:(1)CM平面PAD;(2)平面PAB平面PAD。证明:以C为坐标原点,CB为x轴,CD为y轴,CP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角,PBC30,PC2,BC2,PB4,D(0,1,0),B(2,0,0),A
8、(2,4,0),P(0,0,2),M,(0,1,2),(2,3,0),。(1)设n(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,由即令y2,得n(,2,1)。n2010,n。又CM平面PAD,CM平面PAD。(2)如图,取AP的中点E,连接BE,则E(,2,1),(,2,1)。PBAB,BEPA。又(,2,1)(2,3,0)0,BEDA。又PADAA,BE平面PAD。又BE平面PAB,平面PAB平面PAD。12如图,在多面体ABCA1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,ABAC,BCAB,B1C1綊BC,二面角A1ABC是直二面角。求证:(1)A1B1平面AA1C。(2)AB1平面A1C1C。证
9、明:因为二面角A1ABC是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,所以AA1平面BAC。又因为ABAC,BCAB,所以CAB90,即CAAB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直。建立如图所示的空间直角坐标系,设AB2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2)。(1)(0,2,0),A1A(0,0,2),(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量为n(x,y,z),则即即取y1,则n(0,1,0)。所以2n,即n。所以A1B1平面AA1C。(2)易知(0,2,2),(1,1,0),(2,0,2),设平面A1C1C的一个法向量为m(x1,y1,z1),则即令x11,则y11,z11,即m(1,1,1)。所以m012(1)210,所以m。又AB1平面A1C1C,所以AB1平面A1C1C。