1、课时作业(四十九)立体几何中的向量方法(一)证明空间中的位置关系一、选择题1(2016天津模拟)若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()Al BlCl Dl与相交解析：a(1,0,2)，n(2,0，4)，n2a，即an.l，故选B。答案：B2设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2 B4C4 D2解析：因为，所以，所以k4。答案：C3(2016锦州模拟)直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x的值为()A2 BC. D解析：由已知得sn0，故121(x2x)1(x)0，
2、解得x。答案：D4.(2016珠海模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1垂直DEF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC。故选B。答案：B5如图，正方形ABCD与矩形A
3、CEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1,1,1) B.C. D.解析：由已知得A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，设M(x，x,1)。则(x，x，1)，(，0)，(0，1)。设平面BDE的一个法向量为n(a，b，c)。则即解得，令b1，则n(1,1，)。又AM平面BDE，所以n0。即2(x)0，得x，所以M。答案：C6(2016太原模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1
4、C1C的位置关系是()A斜交 B平行C垂直 D不确定解析：建立如图所示的坐标系，由于A1MAN，则M，N，又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量。因为0，所以，所以MN平面BB1C1C，故选B。答案：B二、填空题7(2016兰州模拟)已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)。则不重合的两个平面与的位置关系是_。解析：由已知得，(0,1，1)，(1,0，1)，设平面的一个法向量为m(x，y，z)，则得得令z1，得m(1,1,1)。又n(1，1，1)，所以mn，即mn，所以。答案：平行8如图，正方体
5、ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的长度之和为_。解析：以直线D1A1，D1C1，D1D分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则E(x,1,1)，F(0,0,1y)，A(1,0,1)，B1(1,1,0)，(1,0，y)，(x1,0,1)又平面ABF，B1EAF，即0，xy1.答案：19(2016成都模拟)空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD，AE的中点，给出如下命题：ADMN；MN平面CDE；MNCE；MN，CE异面。则所有的正确命题为_。解析：如图，设a，b，c，则
6、|a|c|且abcb0。(bc)(ab)(ca)，(ca)b(cbab)0，故ADMN，故正确；ca2，故MNCE，故MN平面CDE，故正确；正确时一定不正确。答案：三、解答题10(2016四平模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，B1C1，C1D1的中点。(1)求证：AG平面BEF。(2)试在棱BB1上找一点M，使DM平面BEF，并证明你的结论。解析：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，E，F，G，因为，而，所以，故与平面BEF共面，又因为AG不在平面BE
7、F内，所以AG平面BEF。(2)设M(1,1，m)，则(1,1，m)，故0，0，所以m0m，所以M为棱BB1的中点时，DM平面BEF。11.(2016泰安模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角，求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD。证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30，PC2，BC2，PB4，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A
8、(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，。(1)设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由即令y2，得n(，2,1)。n2010，n。又CM平面PAD，CM平面PAD。(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，(，2,1)。PBAB，BEPA。又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA。又PADAA，BE平面PAD。又BE平面PAB，平面PAB平面PAD。12如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角。求证：(1)A1B1平面AA1C。(2)AB1平面A1C1C。证
9、明：因为二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，所以AA1平面BAC。又因为ABAC，BCAB，所以CAB90，即CAAB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直。建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)。(1)(0,2,0)，A1A(0,0，2)，(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量为n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0,1,0)。所以2n，即n。所以A1B1平面AA1C。(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)，设平面A1C1C的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)。所以m012(1)210，所以m。又AB1平面A1C1C，所以AB1平面A1C1C。