1、第2讲函数的应用考情考向分析1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题热点一函数的零点1零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，故有两个不同的解u1，u2，又u1u2f()f()4，所以不等实根的个数为3.思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定(2)零点个数的确定(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结
2、合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解跟踪演练1(1)(2018安庆模拟)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，则函数F(x)f(x)g(x)在(0，)内的零点有()A3个 B2个 C1个 D0个答案B解析由f(x1)f(x1)得f(x)周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象，图中，g(3)3log231f(3)，g(5)3log251f(5)，可得有两个交点，所以选B.(2)已知函数f(x)满足：定义域为R；xR，都有f(x2)f(x)；当x1,1时，f(x)|x|1，则方程f(x)log2|x|在区间3,5内解的个数
3、是()A5 B6 C7 D8答案A解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解热点二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解例2(1)已知偶函数f(x)满足f(x1)，且当x1,0时，f(x)x2，若在区间1,3内，函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点，则实数a的取值范围是_答案(3,5)解析偶函数f(x)满足f(x1)，且当x1,0时，f(x)x2，f(x2)f(x11)f(x)，函数f(x)的周期为2，在区间1,3内函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点等价于函数f(x)
4、的图象与yloga(x2)的图象在区间1,3内有3个交点当0a1且解得3a5.(2)(2018全国)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)答案C解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.思维升华(1)方程f(
5、x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数(2)关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域跟踪演练2(1)(2018四川省凉山州诊断性检测)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(0,1 B1，)C(0,1)(1,2) D(，1)答案A解析函数f(x)(aR)在R上有两个零点，且x是函数f(x)的一个零点，方程2xa0在(，0上有一个解，再根据当x(，0时，02x201，可得00时，f(x)，则f(x)(x0)，故f(1)为f(x)在(0，)上的最大值设tf(x)，t2(m1)t1m0 有两个根t1，t2，由图
6、可知，对应两个x值的t值只有一个，故可设t1对应一个x值，t2对应3个x值情况为或当属于第一种情况时，将0代入方程得m1，此时二次方程t2(m1)t1m0的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合第一种情况的要求；当属于第二种情况时，即m1.热点三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答例3经
7、测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/时)(50x120)的关系可近似表示为：y(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当x50,80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，当x65时，y有最小值6759.当x80,120时，函数单调递减，故当x120时，y有最小值10.因为910，故当x65时每小时耗油量最低(2)设总耗油量为l，由题意可知ly.当x50,80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值16.当x80,
8、120时，ly2为减函数当x120时，l取得最小值10.因为100，xR)若f(x)在区间(，2)内没有零点，则的取值范围是_答案解析f(x)sin x(sin xcos x)sin.因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，所以2，所以，所以01.当x(，2)时，x，若函数f(x)在区间(，2)内有零点，则k2(kZ)，即k(kZ)当k0时，；当k1时，.所以函数f(x)在区间(，2)内没有零点时，0或.2(2017山东改编)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是_答案(0,13，)解析设f(x)(mx1)2，g(x)m，在同一直角坐标
9、系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当01时，01，如图，要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)3(2017江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)其中集合D，则方程f(x)lg x0的解的个数是_答案8解析由于f(x)0,1)，则只需考虑1x10的情况，在此范围内，当xQ，且xZ时，设x，p，qN*，p2且p，q互质若lg xQ，则由lg x(0,1)，可设lg x，m，nN*，m2且m，n互质因此，则10nm，
10、此时左边为整数，右边为非整数，矛盾因此lg xQ，因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内xD部分的交点，画出函数草图图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内xD部分，且x1处(lg x)g，g(4)32，g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为5.2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A1,1) B0,2C(2,2 D1,2)押题依据利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想答案D解析g(x)f
11、(x)2x要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)0恰有三个不同的实数根，所以或所以g(x)0的三个不同的实数根为x2(xa)，x1(xa)，x2(xa)再借助数轴，可得1a2.所以实数a的取值范围是1,2)，故选D.3在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.押题依据函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点答案20解析如图，过A作AHBC交BC于点H，交DE于点F，易知，AFx，FH40x(0x0，f0，f0，ff0时，f(x)2x2x4，则f(x)的零点个数是()A2 B3 C4 D5答案B解析由于函数f(x
12、)是定义在R上的奇函数，故f(0)0.由于ff(2)0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，当x0时，也有1个零点故一共有3个零点4(2018乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)x22x(x0)与g(x)x2log2(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A(，) B(，)C. D.答案B解析f(x)x22x(x0时，x0)，所以f(x)关于y轴对称的函数为h(x)f(x)x22x(x0)，由题意得x22xx2log2(xa)在x0时有解，作出函数的图象如图所示，当a0时，函数y2x与ylog2(xa)的图象在(0，)上必有交点，符合题意，若a0，若两函数在(0，)上有交点，则lo
13、g2a，解得0a，综上可知，实数a的取值范围是(，)5将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值为()A5 B6 C8 D10答案A解析根据题意知，因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f(x)aent满足f(5)ae5na，可得nln ，因为当k min后甲桶中的水只有升，所以f(k)，即ln kln ，所以ln k2ln ，解得k10，k55，即m5，故选A.6(2018湖南省三湘名校教育联盟联考)已知函数f(x)则方程f(f(x)20的实根个数为()A6
14、 B5 C4 D3答案C解析令tf(x)，则方程f(f(x)20等价于f(t)2t0，在同一平面直角坐标系中作出f(x)与直线y2x的图象，由图象可得有两个交点，且f(t)2t0的两根分别为t10和1t22，当t1f(x)0时，解得x2，当t2f(x)(1,2)时，f(x)有3个不等实根，综上所述，方程f(f(x)20的实根个数为4.7定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x5)16，当x(1,4时，f(x)x22x，则函数f(x)在区间0，2 019上的零点个数是_答案605解析因为f(x)f(x5)16，所以f(x5)f(x10)16，所以f(x)f(x10)，所以该函数的周期是T10.
15、由于函数yf(x)在(1,4上有3个零点，因此在区间(1,9上只有3个零点，且在(1,0)上有1个零点，在0,9上有2个零点且不在区间端点处而2 019201109，故在区间0,2 019上共有20132605(个)零点8(2018北京市一零一中学月考)已知函数f(x)g(x)f(x)kx(kR)(1)当k1时，函数g(x)有_个零点；(2)若函数g(x)有3个零点，则k的取值范围是_答案(1)1(2)解析(1)当k1时，g(x)0，即f(x)x，当0x0)，最多有1个解，即有x，解得0k，又0x时，xsin xkx，即为sin xk有2个解，则0k1，综上可得0k.9对于函数f(x)与g(x
16、)，若存在xR|f(x)0，xR|g(x)0，使得|1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)ex2x3与g(x)x2axx4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是_答案3,4解析由题意知，函数f(x)的零点为x2，设g(x)满足|2|1的零点为，因为|2|1，解得13.因为函数g(x)的图象开口向上，所以要使g(x)的一个零点落在区间1,3上，则需满足g(1)g(3)0或解得a4或3a，得3a4.故实数a的取值范围为3,410(2018江西抚州七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜
17、，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P804，Qa120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f(50)804150120277.5.(2)f(x)804(200x)120x4250，依题意得解得20x180，故f(x)x4250
18、(20x180)令t2，6，则yt24t250(t8)2282，当t8，即x128时，f(x)max282，所以当甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元B组能力提高11定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)若关于x的方程f(x)a0(0a1)所有根之和为1，则实数a的值为()A. B. C. D.答案B解析因为函数f(x)为奇函数，所以当x(1,0时，f(x)f(x)log(x1)log2(1x)；当x(，1时，f(x)f(x)(1|x3|)|x3|1，所以函数f(x)的图象如图所示，令g(x)f(x)a，函数g(x)的零点即为函数yf(x)与y
19、a的交点，如图所示，共5个当x(，1时，令|x3|1a，解得x14a，x2a2，当x(1,0)时，令log2(1x)a，解得x312a；当x1，)时，令1|x3|a，解得x44a，x5a2，所以所有零点之和为x1x2x3x4x54aa212a4aa212a1，a.12(2018山东、湖北部分重点中学模拟)若函数f(x)axln x有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析函数f(x)axln x有3个不同的零点，等价于a，x(0，)有3个不同解，令g(x)，x(0，)，则g(x)，当x(0，)时，令y2xln x，则y2，当x时，y0，y单调递增，则ymin1ln
20、1ln 20，则当x(0，)时，恒有2xln x0，令g(x)0，得x1或xe，且x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增；x时，g(x)0，g(x)单调递减，则g(x)的极小值为g(1)1，g(x)的极大值为g(e)，当x0时，g(x)，当x时，g(x)1.结合函数图象(图略)可得，当1a时，ya 与g(x)的图象有3个不同的交点，即方程a，x(0，)有3个不同解，即函数f(x)axln x有3个不同的零点，所以a的取值范围是.13已知函数f(x)|x|(2x)，关于x的方程f(x)m(mR)有三个不同的实数解x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为_答案(1，0)解析f(x)|x|
21、(2x)如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数yf(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m0时，由对称性知，x2x32,0x2x321；当x0时，由x22x1，得x1，所以1x10，即0x11，所以0x1x2x31，即1x1x2x30且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_答案解析画出函数y|f(x)|的图象如图，由函数yf(x)是单调递减函数可知，03aloga(01)1，即a，由loga(x01)10得，x012，所以当x0时，y2x与y|f(x)|图象有且仅且一个交点所以当23a，即a时，函数y|f(x)|与函数y2x图象恰有两个不同的交点，即方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，结合图象可知当直线y2x与函数yx23a相切时，得x2x3a20.由14(3a2)0，解得a，此时也满足题意综上，所求实数a的取值范围是.
