1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时函数的最大值、最小值函数的最大值、最小值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M;_(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意xI，都有f(x)m;_(4)存在x0I，使得f(x0)m_结论M为最大值m为最小值如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)M，那么M一定是函数f(x)的最大值吗？提示：不一定如函数f(x)x21恒成立，但是1不是函数的最大值1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)
2、任何函数都有最大值、最小值()提示：.如函数y既没有最大值，也没有最小值(2)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的()提示：.函数的最大值是唯一的(3)如果一个函数f(x)是区间a，b上的减函数，那么函数的最大值是f(b).()提示：.最大值为f(a).2函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为()Af，f Bf(0)，fCf，f(0) Df(0)，f(3)【解析】选B.观察函数图象， f(x)最大值、最小值分别为f(0), f.3(教材例题改编)函数y在区间2，4上的最大值、最小值分别是()A1，B，1C，D，【解析】选A.因为y在2，4上是减函数，所以当x2时，取最大值y1；当
3、x4时取最小值y.类型一利用函数的图象求最值(数学抽象、数学直观)1函数y|x|在R上()A有最大值0，无最小值B无最大值，有最小值0C既无最大值，又无最小值D以上都不对【解析】选A.因为函数y|x|的图象如图所示，所以函数y|x|在R上有最大值0，无最小值2函数f(x)在区间2，5上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A2，f(2) B2，f(2)C2，f(5) D2，f(5)【解析】选C.观察图象可知图象的最低点坐标是(2，2)，从而其最小值是2；另外从图象看图象的最高点坐标为(5，f(5)，从而其最大值为f(5).3函数f(x)在1，)上()A有最大值无最小值 B有最小值无
4、最大值C有最大值也有最小值 D无最大值也无最小值【解析】选A.函数f(x)是反比例函数，当x(0，)时，函数图象下降，所以在1，)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在1，)上的最大值，函数在1，)上没有最小值故选A.4用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)min4x1，x4，x8的最大值是_【解析】在同一坐标系中分别作出函数y4x1，yx4，yx8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)min4x1，x4，x8的图象，如图所示，由图象可知，函数f(x)在x2时取得最大值6.答案：6 图象法求最值的步骤【补偿训练】1.函数yf(x)(2x2)的图象如图所示，则函数的
5、最大值、最小值分别为()Af(2)，f(2) Bf，f(1)Cf，f Df，f(0)【解析】选C.根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x时，有最小值f；当x时，有最大值f.2如图为函数yf(x)，x4，7的图象，指出它的最大值、最小值【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(1.5，2)，所以当x3时，函数yf(x)取得最大值，即ymax3；当x1.5时，函数yf(x)取得最小值，即ymin2.3已知函数f(x)(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象(2)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值【解析】(1)由题意，当x1，2时，f(x)x23，为
6、二次函数的一部分；当x(2，5时f(x)x3，为一次函数的一部分所以函数f(x)的图象如图所示：(2)由图象可知，当x0时，f(x)有最大值，最大值为3；当x2时，f(x)有最小值，最小值为1.类型二利用单调性求函数的最值(数学抽象、数学运算)【典例】已知函数f(x).(1)判断函数f(x)在区间0，)上的单调性，并用定义证明其结论(2)求函数f(x)在区间2，9上的最大值与最小值四步内容理解题意已知函数解析式，判断函数的单调性，并用定义证明；求函数在某区间上的最值思路探求(1)可依据x逐步增大时，y值的变化趋势初步判断函数的单调性，再利用单调函数的定义证明(2)依据(1)得出函数的单调性，确
7、定函数的最值书写表达(1)f(x)在区间0，)上单调递增证明如下：任取x1，x20，)，且x1x2，f(x1)f(x2).因为x1x20，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在区间0，)上单调递增(2)由(1)知函数f(x)在区间2，9上是增函数，故函数f(x)在区间2，9上的最大值为f(9)，最小值为f(2).题后反思求函数的最值，可以利用函数的单调性确定何时取得最值 1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值2函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间a，b上是增(
8、减)函数，则f(x)在区间a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c) 中较小(大)的一个1函数yf(x)的定义域为4，6，若函数f(x)在区间4，2上单调递减，在区间(2，6上单调递增，且f(4)f(6)，则函数f(x)的最小值是_，最大值是_.【解析】作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)minf(2)，f(x)maxf(6).答案：f(2)f(6)2函数f(x)在1，b(b1)上的最小值是，则b_【解析】因
9、为f(x)在1，b上是减函数，所以f(x)在1，b上的最小值为f(b)，所以b4.答案：43已知函数f(x).求函数f(x)在区间1，5上的最值【解析】x1，x21，5，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为1x1x20，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间1，5上单调递减因此，函数f(x)在区间1，5的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)3，最小值为f(5).【补偿训练】已知函数f(x)，x1，).(1)当a时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围【解析】(1
10、)当a时，f(x)x2.设1x1x2，则f(x2)f(x1)(x2x1)，因为1x1x2，所以x2x10，2x1x22，所以0，10.所以f(x2)f(x1)0，f(x1)f(x2).所以f(x)在区间1，)上为增函数所以f(x)在区间1，)上的最小值为f(1).(2)在区间1，)上f(x)0恒成立x22xa0恒成立设yx22xa，x1，)，则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数所以当x1时，y取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a的取值范围为(3，).类型三一元二次函数的最值问题(数学抽象、数学运算)不含参数的一元二次函数的最值【典
11、例】函数yx22x2在区间2，3上的最大值、最小值分别是()A10，5 B10，1C.5，1 D以上都不对【思路导引】可先配方，再结合函数的定义域，即可求解【解析】选B.因为yx22x2(x1)21，且x2，3，所以当x1时，ymin1，当x2时，ymax(21)2110.故选B.含参数的一元二次函数的最值【典例】设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR.(1)当a0时，求f(x)在区间0，2上的最大值和最小值(2)求函数f(x)的最小值【思路导引】(1)代入a值，化简后求最值；(2)讨论对称轴与区间的位置关系求最值【解析】(1)当a0，x0，2时，函数f(x)x2x1，因为f(x)的图象
12、开口向上，对称轴为x，所以当x时，f(x)值最小，最小值为，当x2时，f(x)值最大，最大值为3.(2)当xa时，函数f(x)x2xa1a.(i)若a，则f(x)在(，a上单调递减，在(，a上的最小值为f(a)a21；(ii)若a，则函数f(x)在(，a上的最小值为fa；当xa时，f(x)x2xa1a.(i)若a，则f(x)在a，)上的最小值为fa；(ii)若a，则f(x)在a，)上单调递增，f(x)的最小值为f(a)a21.所以当a时，a210，f(x)的最小值为a.当a时，a210，f(x)的最小值为a.当a时，f(x)的最小值为a与a中较小者所以当a0时，f(x)的最小值为a；当0a2时
13、，g(x)ming44m154m11；当m0时，g(x)ming15；当0m2时，g(x)mingm22m215m215.综上所述，g(x)min1函数f(x)2在区间1，3上的最大值是()A2 B3 C1 D1【解析】选D.容易判断函数f(x)在区间1，3上是增函数，所以在区间1，3上的最大值是f(3)1.2函数f(x)2x1(x2，2)的最小值、最大值分别为()A3，5 B3，5C1，5 D5，3【解析】选B.因为f(x)2x1(x2，2)是单调递减函数，所以当x2时，函数的最小值为3.当x2时，函数的最大值为5.3函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为()A.f，f Bf(0)
14、，fCf，f(0) Df(0)，f(3)【解析】选B.观察函数图象，f(x)最大值、最小值分别为f(0), f.4如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_【解析】因为函数f(x)x2(a1)x5的对称轴为x且在区间上是增函数，所以，即a2.答案：(，25求函数f(x)的最值【解析】函数f(x)的图象如图所示由图象可知f(x)的最小值为f(1)1，无最大值【补偿训练】 已知函数f(x)对任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)是R上的减函数(2)求f(x)在3，3上的最小值【解析】(1)设x1，x2是任意的两个实数，且x1x2，则x2x10，因为x0时，f(x)0，所以f(x2x1)0，又因为x2(x2x1)x1，所以f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)0，所以f(x2)f(x1).所以f(x)是R上的减函数(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在3，3上也是减函数，所以f(x)在3，3上的最小值为f(3).而f(3)f(1)f(2)3f(1)32.所以函数f(x)在3，3上的最小值是2.关闭Word文档返回原板块
