1、数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数为纯虚数（i虚数单位），则实数（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则，纯虚数的定义即可得出【详解】为纯虚数，.故选：B2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合一元二次不等式、对数不等式的求解可得、，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式、对数不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题首先可以通过诱导公式
2、、同角三角函数关系以及二倍角公式将转化为，然后代入并计算即可得出结果.【详解】，因为，所以，故选：C.【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系以及二倍角公式的应用，考查三角函数的化简与求值，考查转化与化归思想，考查计算能力，是简单题.4. 掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用列举法求出所有的基本事件数及满足要求的基本事件数，再利用古典概型概率公式计算即可得解.【详解】掷一枚均匀的硬币3次，可能出现的基本情况有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种；其中满足条件的基本情况有：正正
3、反，正反正，反正正，共3种.所以出现正面向上的次数恰好为两次的概率.故选：A.【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型的概率，属于基础题.5. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的焦距为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将双曲线的方程表示成标准方程，根据双曲线的虚轴长可求得实数的值，进而可求得双曲线的焦距.【详解】双曲线的标准方程为，则该双曲线的虚轴长为，解得，所以，双曲线的标准方程为，所以，该双曲线的焦距为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了利用双曲线的虚轴求参数，考查计算能力，属于基础题.6. 已知实数、满足，则的最大值是（ ）A. B. C. D.
4、【答案】D【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，数形结合求得函数的取值范围，由此可求得的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，令.联立，解得，则点；联立，解得，则点.平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.综上所述，即故选：D.【点睛】本题考查利用线性规划求含绝对值的线性目标函数的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7. 函数的部分图象如图所示，如果，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的周期求出，再利用五点作图法求出的值，再利
5、用函数图象的对称性，求得，可得的值【详解】，解得：；由五点作图法可知：，解得：，.故选：A.8. 已知函数，给出下列两个命题：命题，方程有实数解；命题当时，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由分段函数的性质可判断命题为假命题、命题为真命题，再由复合命题的真假结论即可得解.【详解】当时，当、时，所以当时，方程无实数解，故命题为假命题，命题为真命题；当时，故命题为真命题，命题为假命题；所以命题、均为假命题，命题为真命题，故选：B.【点睛】本题考查了分段函数性质的应用，考查了复合命题的真假判断，属于基础题.9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接
6、正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： ）A. 48B. 36C. 24D. 12【答案】C【解析】【分析】由开始，按照框图，依次求出s，进行判断【详解】 ，故选C.【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键10. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据三
7、视图得出原几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，把四棱锥补成长方体，利用长方体与四棱锥外接球相同，根据长方体性质，求出对角线长，进而得到外接球半径，然后代入球的表面积公式计算【详解】由三视图可知原几何体是四棱锥，侧棱平面，底面是边长为的正方形，把四棱锥补成长方体，则长方体的长宽高分别为2，2，4，所以长方体的外接球就是四棱锥的外接球，所以外接球的直径，所以外接球的半径，所以外接球的表面积故选：D.11. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上下顶点分别为，右顶点为，右焦点为，延长与交于点，若四点共圆，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由四点共圆，可得，
8、即，列等式即可求解.【详解】如图，因为四点共圆，,所以，所以，即，整理可得，所以，解得，因为，所以.故选：C【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.12. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出函数的图象,当直线与曲线相切于点时,推出直线与函数的图象恰有3个交点时的范围;当直线与曲线相切时,设切点为,通过,求出,或,然后判断求解的范围.【详解】函数的图象如图所示,当直线与曲线相切于点时, ,故当或时,直线与函数的图象恰有一个交点,当时,直线与函数的图象恰有两个交点,当直线与曲线相切时,设切点为,
9、则,解得,或,，当时,直线与函数的图象恰有一个交点,当或时,直线与函数的图象恰有两个交点,当时,直线与函数的图象恰有三个交点,综上的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查分段函数图像的画法，以及利用函数图象研究函数的零点问题，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知为单位向量，且满足，则_.【答案】【解析】【分析】将式子两边同时平方即可求解.【详解】由，则，所以，解得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了转化法求向量的数量积，考查了基本运算能力，属于基础题.14. 已知为等差数列，公差为1，且是与的等比中项，则_【答案】【解析】【分析】由是与的等比中项，可得，解出即可得
10、出【详解】是与的等比中项，解得.故答案为：.15. 如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，过点的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为_.【答案】18【解析】【分析】如图，取中点，中点，连接，可知等腰梯形即为所求截面，求出面积即可.【详解】如图，取中点，中点，连接，可知在正方体中，确定平面，平面，平面，平面平面，即四边形为所得截面，可知四边形是一个等腰梯形，如图，可知，.故答案为：18.【点睛】本题考查空间中平行平面的判断，找平行线是解决问题的关键.16. 在锐角中，角、的对边分别为、，已知，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】本题首先可以根据以及得出，并求出的值，然后根据余弦定理以及求
11、出，再然后根据求出的值以及的值，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.【详解】因为，所以，因为是锐角三角形，所以，因为，所以，解得，因为，所以，则的面积，故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的灵活应用，考查解三角形面积公式以及同角三角函数关系，考查正弦定理边角互化，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在直角坐标系中，直线，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求的极坐标方程和的普通方程；（2）把绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线，与交于A，B两点，求【答案】（1）；（2）【解析】【
12、分析】（1）由直线的直角坐标方程能求出直线的极坐标方程，曲线的参数方程消去参数，能求出曲线的普通方程（2）把绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线的极坐标方程为化为直角坐标方程为，求出圆的圆心到直线的距离，由此利用勾股定理能求出【详解】解：（1）直线，直线的极坐标方程为，即，曲线的参数方程是（为参数），消去参数，得曲线的普通方程为（2）把绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线，的极坐标方程为，化为直角坐标方程为，圆圆心到直线：的距离：，.【点睛】本题考查直线的极坐标方程的求法，考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能
13、力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题18. 在中，角所对的边分别为，且，.（1）求的大小；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理的边角互化可得，再利用余弦定理即可求解. （2）根据三角形的面积公式：，代入即可求解.【详解】（1）由，则， 又，则，所以，所以，（2）由，则，所以.【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.19. 已知数列为等差数列，其前项和为，且数列也为等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等差
14、数列的公差为，利用等差中项以及等差数列的通项公式即可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，成等差数列，解得，经检验，所以数列为等差数列，.（2），设数列的前项和为，则.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂相求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.20. 在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表坐标系与参数方程不等式选讲人数及均分人数均分人数均分男同学14867女同学86.5125.5（1）求全班选做题的均分；（2）据此判断是否有90%的把握认为选做坐标系与参数方程或不等式选讲与性别有关？（3）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男
15、）都选做不等式选讲若在不等式选讲中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望参考公式：，下面临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.02466357.87910.828【答案】（1）6.8；（2）有90%的把握认为选做坐标系与参数方程或不等式选讲与性别有关；（3）【解析】【分析】（1）根据表中数据直接计算平均值即可；（2）先计算出，再和2.706比较即可得出结论；（3）可得抽取男生1人，女生2人，的可能取值为0，1，2，计算出取不同值的概率，即可求出数学期望.【详解】（1）根据表中数据，可得全班选做
16、题的平均分为；（2）由表中数据可得，所以有90%的把握认为选做坐标系与参数方程或不等式选讲与性别有关；（3）按性别分层抽样抽取3人，则可得抽取男生1人，女生2人，的可能取值为0，1，2，则，则的数学期望.【点睛】本题考查独立性检验和数学期望求解问题，解题的关键是正确获取题目数据，保证计算的正确性.21. 如图几何体中，四边形ABCD为矩形，,G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且.（）证明：AF/面BDG；（）证明：面面BFC；（）求三棱锥的体积V.【答案】（）证明见解析（）证明见解析；（） .【解析】【分析】【详解】（）连接交于点，则为的中点，连接,因为点为中点，所以为的中位线,所以， 因
17、为面，面 所以AF/面BDG；（）连接,，为的中点,，,，为矩形, ，又，为平行四边形, ，为正三角形 ，面,面,面面 （）因为，,所以,所以22. 已知函数，且直线和函数的图像相切.（1）求实数的值；（2）设，若不等式对任意恒成立（，为的导函数），求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本题首先可设切点的坐标为，然后求出函数的导函数并写出切线方程为，再然后根据和为同一条直线得出、，最后令，根据函数的单调性及最值即可得出结果；（2）本题首先可根据得出以及，然后将转化为，再然后设，最后通过求出函数的最小值即可得出结果.【详解】（1）设切点的坐标为，由得，则切线方程为，即，因和为同一条直线，所以，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，故，当且仅当时等号成立，.（2）因为，所以，即，因为，所以，令，则，令，因为，所以，在上单调递增，因为，所以在上存在唯一零点，设此零点为，且，当时，；当时，故，因为，所以，因为，所以的最大值为.【点睛】本题考查导数的几何意义以及通过导数解决不等式恒成立问题，考查通过导数求函数的单调性以及最值，曲线在某一点处的导数即曲线在这一点处的切线斜率，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
