1、专题能力提升练(五)解析几何一、选择题(每小题5分)1过点(5,2)且在y轴上截距是x轴上截距的2倍的直线方程是()A2xy120B5x10y120C2xy120或2x5y0Dx2y90或2x5y0解析：设直线在x轴上截距为a，则在y轴上截距为2a，若a0，得直线方程是2x5y0；若a0，则方程为1，又直线过点(5,2)，得a6，得直线方程是2xy120.答案：C2已知直线axbyc0与圆O：x2y21相交于A，B两点，且|AB|，则的值是()A B. C D.解析：在OAB中，由|OA|OB|1，|AB|，可得AOB120，所以11cos120.答案：A3已知命题p：4r0)上恰好有2个点到
2、直线4x3y20的距离等于1，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：因为圆心(3，5)到直线4x3y20的距离等于5，所以当圆(x3)2(y5)2r2(r0)上恰好有2个点到直线4x3y20的距离等于1时，4r6.所以p是q的必要不充分条件答案：B4若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A2 B3 C4 D6解析：由题意知直线2axby60过圆心C(1,2)，则ab30，当点M(a，b)到圆心的距离最小时，切线长最短，|MC|，当a2时最小，此时b1，切线长等于4.答案：C5已知点A
3、(t,0)，B(t,0)，若圆C：(x3)2(y4)21上存在点P，使得APB90，则正数t的取值范围是()A4,6 B5,6 C4,5 D3,6解析：圆C上存在点P使APB90，即圆C与以AB为直径的圆有公共点，所以1t1，即4t6.答案：A6已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为()A.B(1,2)C(，0)(1,2)D(，1)解析：依题意得不等式组，解得m1或1mb0)，则，解得，所以椭圆的标准方程为1.答案：D8设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，过点F且斜率为1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF的中点，则双曲线C的离心率e()A. B.
4、C. D.解析：由题意知，直线l的方程为y(xc)，解方程组，得A，解方程组，得B，因为A为线段BF的中点，所以c，即b3a，所以e21910，所以e.答案：A9已知抛物线y24x的焦点F与椭圆1(ab0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为P，且PF与x轴垂直，则椭圆的离心率为()A. B.1C. D.解析：由于抛物线y24x的焦点为F(1,0)，结合题意得a2b21，又由题意知P点的坐标为P(1,2)，则1.由得a232，a1，e1，选B.答案：B10已知椭圆1(ab0，a4)的一个焦点与抛物线y28x的焦点F重合，设抛物线的准线与椭圆1相交于A，B两点，则ABF的面积的最小值为()A
5、4 B6C8 D12解析：由题意知，抛物线y28x的焦点F(2,0)，准线为x2，所以c2，a2b24.把x2代入椭圆方程1，得y2b2，取A，B.因为ABF的面积为S42b44a，S40，所以S为增函数，因为a4，所以S12.答案：D二、填空题(每小题5分)11已知圆O：x2y25，直线l：xcosysin1(00)，则圆心(a，b)为直线l和直线yx的交点，联立，解得圆心C的坐标为(6，3)，从而解得r234，所以圆C的标准方程为(x6)2(y3)234.答案：(x6)2(y3)23414过抛物线x24y上一点M(x0，y0)(x00)作抛物线的切线与抛物线的准线交于点N(x1，y1)，则
6、x0x1的最小值为_解析：由x24y，得yx2，则yx，抛物线的准线方程为y1.因为点M(x0，y0)是抛物线x24y上一点，所以y0x，且过点M的抛物线的切线的斜率kx0，切线方程为yy0x0(xx0)，即yxx0(xx0)，令y1，得x1x0，所以x0x1x02，所以x0x1的最小值为2.答案：215在平面直角坐标系中，点P为椭圆y21上的一个动点，则点P到直线xy60的最大距离为_解析：通解：设直线xya0与椭圆相切，则方程组有唯一解，消去x，得4y22aya230，4a216(a23)0，解得a2，所以直线xy20与椭圆相切，所以点P到直线xy60的最大距离为直线xy20与直线xy60
7、间的距离，最大距离为4.优解：设P(x，y)，则y21，且P(x，y)到直线xy60的距离为d.设，则d4，所以点P到直线xy60的最大距离为4.答案：4三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16过平面内M点的光线经x轴反射后与圆C：x2(y2)22相切于A，B两点(1)若M点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程；(2)若|AB|，求动点M的轨迹方程解：(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，1)，设反射光线所在直线的斜率为k，则此直线方程可以设为y1k(x5)，即kxy5k10(*)又反射光线与圆C：x2(y2)22相切，所以，
8、解得k1或，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为xy40或7x23y120.(2)设动点M的坐标为(x，y)(y0)，则反射光线所在直线必过点M关于x轴的对称点Q(x，y)，设动弦AB的中点为P，则|AP|，故|CP|.由射影定理|CP|CQ|AC|2，得|CQ|8，即8，即x2(y2)2128(y0)17已知直线l1：mxy0，l2：xmy2m20.(1)证明：m取任意实数时，l1和l2的交点总在一个定圆C上；(2)直线AB与(1)中的圆C相交于A，B两点，若弦AB被点P平分，求直线AB的方程若直线AB经过定点(2,3)，求使ABC的面积取得最大值时的直线AB的方程解：(1)设l1
9、和l2的交点坐标为(x，y)，则有，消去m得，x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22，所以l1和l2的交点总在圆心坐标为(1,1)，半径为的圆上(2)当弦AB被点P平分时，CPAB，因为kCP1，所以kAB1，由点斜式方程，得直线AB的方程为y，即xy10.当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x2，可求得|AB|2，SABC211；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y3k(x2)，即kxy32k0，则圆心C到直线AB的距离d，又SABCd2，当d221，即k时，ABC面积取得最大值1，此时，直线AB的方程为y3(x2)，即3x4y60.综上所求直线AB的方程为x2或3x4y
10、60.18已知抛物线D的顶点是椭圆1的中心，焦点与椭圆的右焦点重合(1)求抛物线D的方程；(2)已知动直线l过点P(4,0)，交抛物线D于A，B两点是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由解：(1)由题意，可设抛物线D的方程为y22px(p0)由431，得抛物线的焦点为(1,0)，p2.抛物线D的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，假设存在直线m：xa满足题意，则圆心M，过M作直线xa的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G.则|EG|2|MG|2|ME|2，即|EG|2|MA|2|ME|22ya(x14)a2
11、x14x1a(x14)a2(a3)x14aa2.当a3时，|EG|23，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2.因此存在直线m：x3满足题意19已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2y210x200相切过点P(4,0)作斜率为的直线l，使得直线l和双曲线G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，|PA|PB|PC|2.(1)求双曲线G的方程；(2)椭圆S的中心在原点，焦点在y轴上，它的短轴是G的实轴如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为ykx，则由已知可得，所以k，即双曲线G的渐近
12、线的方程为yx.设双曲线G的方程为x24y2m，A(xA，yA)，B(xB，yB)由，得3x28x164m0，则xAxB，xAxB.(*)因为|PA|PB|PC|2，P，A，B，C共线且P在线段AB上，所以(xPxA)(xBxP)(xPxC)2，整理得：4(xAxB)xAxB320，将(*)代入上式，解得：m28.所以双曲线G的方程为1.(2)由题可设椭圆S的方程为：1(a2)，弦的两个端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为Q(x0，y0)，由，得0，因为4，x1x22x0，y1y22y0，所以0，所以S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹为直线0截在椭圆S内的部分又这个轨迹恰好
13、是G的渐近线截在S内的部分，所以，所以a256，椭圆S的方程为1.20已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴交于点M，在第一象限内是否存在A点，使得AM与椭圆相切？若存在，求出A点的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由e，得a2b，把点代入椭圆方程可得：1b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)假设存在A(x1，y1)，(x10，y10)，则B(x1，y1)，直线AB的斜率kAB，又ABAD，所以直线AD的斜率k，设直线AD的方程为ykxm，D(x2，y2)，由
14、题意知k0，m0，由，可得(14k2)x28mkx4m240.所以x1x2，因此y1y2k(x1x2)2m，由题意知，x1x2，所以kBD，所以直线BD的方程为yy1(xx1)，令y0，得x3x1，即M(3x1,0)，可得kAM.设过点A的直线l：ytxp与椭圆相切，则把ytxp代入y21，得(14t2)x28ptx4p240有两个相等实根，所以(8pt)244(p21)(14t2)0，所以4t2p21.又方程的解为x1，即x1，y1，所以t.若AM是椭圆的切线，则，即x2y，又因为y1，所以x，y，所以x1，y1，所以在第一象限内存在点A，使得AM与椭圆相切21(2016浙江杭州一模)已知椭圆1(ab0)，离心率e，且过点.(1)求椭圆方程；(2)RtABC以A(0，b)为直角顶点，边AB，BC与椭圆交于B，C两点，求ABC面积的最大值解：(1)由e，即，又a2b2c2，得a3b，把点代入椭圆方程可得1b1.所以椭圆方程为y21.(2)由题意知AB，BC所在直线的斜率均存在，不妨设AB的方程为ykx1，则AC的方程为yx1.由得(19k2)x218kx0xB，将k用代替，可得xC，从而有|AB|，|AC|.于是SABC|AB|AC|162162.令tk2，有SABC，当且仅当t2时取等号，(SABC)max.
