1、7.4 曲线与方程 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 7.4 曲线与方程双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理1曲线与方程的关系(1)“曲线的方程”与“方程的曲线”在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：曲线上的点的坐标都是_以这个方程的解为坐标的点都是_.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线这个方程的解曲线上的点(2)用直接法求曲线方程的五个步骤建立适当的直角坐标系，设M(x，y)为曲线上的任意一点；写出适合条件P的点M的集合PM|P(M)；用_表示条件P(M)，列出方程F(x，y)0
2、；化方程F(x，y)0为最简形式；证明以化简后的方程的解为坐标点都是曲线上的点坐标2曲线的交点求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的_的问题思考感悟1怎样才能使曲线上的点集与方程的解集之间建立一一对应关系？实数解提示：视曲线为点集：曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标(x，y)所满足的方程，这样就可保证曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，两者之间就一一对应2求曲线方程与求轨迹有何不同？提示：若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚 课前热身1(教材例 1 改编)“x20y20
3、5”是“点 P(x0，y0)在圆 x2y225”上的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：C答案：C2下列各组方程中，表示同一曲线的一组方程是()Ay x与 xy2 Byx 与xy1C|y|x|与 x2y20 Dylgx2 与 y2lgx3动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是()A2 B4C8 D不存在答案：C4曲线 x2ay21 经过点 P(2，3)，则 a 的值为_答案：135曲线 y1x2与曲线 y|x|的交点个数是_答案：2考点探究挑战高考 考点突破 曲线与方程的关系 判断曲线与方程的对应关系有两种方法：等价转化和特值讨论
4、，它们依据的是曲线的纯粹性和完备性因此，处理“曲线与方程”的概念题，可采用等价转化法，也可采用特值法如果命题“坐标满足方程F(x，y)0的点都在曲线C上”不正确那么，以下正确的命题是()A曲线C上的点的坐标都满足方程F(x，y)0B坐标满足方程F(x，y)0的点有些在C上，有些不在C上C坐标满足方程F(x，y)0的点都不在曲线C上D一定有不在曲线C上的点，并且其坐标满足方程F(x，y)0例1【思路分析】从定义入手，结合定义中的两个条件判断【解析】“坐标满足方程F(x，y)0的点都在曲线C上”不正确，就是说“坐标满足方程F(x，y)0的点不都在曲线C上”是正确的这意味着一定有这样的点(x0，y0
5、)，虽然F(x0，y0)0，但(x0，y0)C，即一定有不在曲线C上的点，其坐标满足F(x，y)0，因此只有D正确【答案】D【领悟归纳】判断方程是否是曲线的方程，曲线是否是方程的曲线，必须检验两个条件，二者缺一不可用直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法等把题意中的曲线用含x或y的方程表示参考教材例2、例3、例4.求曲线方程 已知 A、B、D 三点不在同一条直线上，且A(2,0)，B(2,0)，|AD|2，AE 12(AB AD)，求E 点的轨迹例2【思路分析】AD 用AE 和AB 表示，利用|AD|2建立 x，y 的关系【解】由AE 12(AB AD)可得，AD 2AE AB，设 E(x
6、，y)，AE(x2，y)，AB(4,0)，AD 2(x2，y)(4,0)(2x,2y)，又|AD|2，(2x)2(2y)24，即 x2y21，又A、B、D 三点不共线，AB 与AD 不平行，y0，E 点的轨迹方程为 x2y21(y0)，表示圆心在(0,0)，半径为 1 的圆除去(1,0)【误区警示】本题易忽略A、B、D三点不共线的条件，而认为是整个圆互动探究 在本例中，若AE 12(AB AD)，其余条件不变，E 点的轨迹会有什么变化？解：由AE 12(AB AD)得AD 2AE AB而AD(2x,2y)|AD|2，x2y21 且 y0.E 点的轨迹没有变化(1)求两条曲线的交点坐标，只需解两
7、条曲线的方程组成的方程组(2)如果两曲线的位置是由交点的个数决定的，那么位置关系可由方程组的实数解的情况来决定参考教材练习第4题求曲线的交点 过点 M(1,2)的直线与曲线 yax有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为 a，求 a 的取值范围例3【思路分析】引入斜率参数 k，建立直线方程后与曲线 yax联立方程，根据判别式求 a 的取值范围【解】过 M(1,2)的直线与曲线 yax有两个不同的交点，直线的斜率 k 存在且不为零设过点 M(1,2)的直线方程为 y2k(x1)(k0)由方程组ykx12yax消去 x，得 y2(2k)yka0(*)当且仅当(*)方程有两个不同的实根时，方程组
8、有两组不同的实数解，即直线与曲线才有两个不同的交点设两交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y22ky1y2ka且(2k)24ka0.y1y2a2k，k2a，代入(2k)24ka0 得 a24a(2a)0，解得 0a0时，有两个交点；当0.设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，则 x1x2 4k2k23，x1x24k23k23，y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4k2(4k23k23 8k2k234)9k2k23.4 分因为 x1，x21，所以直线 AB 的方程为 yy1x11(x1)因此 M 点的坐标为(12，3y12x11)，FM(32，3y
9、12x11)同理可得FN(32，3y22x21).6 分因此FM FN(32)(32)9y1y24x11x219481k2k2344k23k23 4k2k2310.8 分当直线 BC 与 x 轴垂直时，其方程为 x2，则B(2,3)，C(2，3)AB 的方程为 yx1，因此 M点的坐标为(12，32)，FM(32，32)同理可得FN(32，32).10 分因此FM FN(32)(32)32(32)0.综上，FM FN 0，故 FMFN.故以线段 MN 为直径的圆过点 F.12 分【名师点评】本题主要考查了求轨迹方程的方法，直线与曲线的位置关系，圆的方程的知识，以及推理运算能力难度中档偏上考查了
10、平面解析几何的重要知识和思想方法，求轨迹方程作为本题的第一问较简单，但很关键，只有(1)正确，(2)才有可能正确，(2)中是解决直线与曲线的常规方法：方程组思想及向量法，入手明确，但化简运算量较大名师预测1设点 M(a，b)是曲线 C：y12x2lnx2 上的任意一点，直线 l 是曲线 C 在点 M 处的切线，那么直线 l 的斜率的最小值为()A2 B0C2 D4解析：选 C.由题可得 yx1x，所以曲线 C：y12x2lnx2 在点 M(a，b)处的切线 l 的斜率为 ka1a，又a0，斜率 ka1a2，当且仅当 a1时，等号成立，直线 l 的斜率的最小值为 2，故选C.2如图，定点A和B都
11、在平面内，定点P，PB，C是内异于A和B的动点，且PCAC.那么，动点C在平面内的轨迹是()A一条线段，但要去掉两个点B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点D半圆，但要去掉两个点解析：选B.由三垂线定理可得ACBC.ACB是直角三角形点C在以AB为直径的圆上，但异于A、B两点3已知直线 xya0 与圆 x2y21 交于不同的两点 A、B，O 为坐标原点，则“a1”是“向量OA、OB 满足|OA OB|OA OB|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.由题可知，若 a1，则直线 yx1 与圆 x2y21 交于 A(0,1)、B(1,0)
12、两点(假设点 A 为在 y 轴上的交点)，可得OA OB，|OA|OB|，所以|OA OB|OA OB|.若|OA OB|OA OB|，可得以向量OA、OB 为邻边的平行四边形是矩形，所以OA OB，因为点 A、B 在圆上，所以|OA|OB|，点 O 到直线 AB 的距离为 22，即d|a|2 22，所以 a1，故“a1”是“向量OA、OB 满足|OA OB|OA OB|”的充分不必要条件故选 A.4过点(2,0)的直线l和抛物线C：y28x有且只有一个公共点，则直线l的斜率取值集合是()A1,0,1 B1,0C0,1 D1,1解析：选 A.设直线 l 的方程为 yk(x2)，联立y28xykx2 ，k2x2(4k28)x4k20，(1)当k0时，x0，从而y0，方程组有一组实数解，从而直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k0时，令判别式(4k28)216k464k2640，可解得k1，此时方程有两个相等的实数解，代入方程组中的第二个方程知，相应的方程组仅有一组实数解，从而直线l与抛物线C有一个公共点综上知直线l的斜率取值集合是1,0,1本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
