1、知能整合提升一、随机事件的概率1有关事件的概念(1)必然事件：我们把在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件，简称必然事件(2)不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件，简称不可能事件(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件(4)随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件，简称随机事件(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母 A，B，C，表示 2对于概率的定义应注意以下几点(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验(2)只有当
2、频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件 A的概率(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小(5)必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，故 0P(A)1.二、互斥事件与对立事件1互斥事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件或称互不相容事件从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，即 AB，如右图所示易知，必然事件与不可能事件是互斥的；任何两个基本事件都是互斥的，如果 A1，A2，An 中的任何两个都是互斥事件，那么我们就说事件 A1，A2，An 彼此互斥从集合的角度看，n 个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集
3、合两两相交为空集2对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件从集合的角度看，由事件 B 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集，如图所示即 AB且ABI.3互斥事件概率的求法(1)若 A1，A2，An 互斥，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)利用这一公式求概率的步骤是：要确定这些事件彼此互斥；这些事件中有一个发生；先求出这些事件分别发生的概率，再求和值得注意的是：、两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的4对立事件概率的求法P()P(A A)P(A)P(A)1，由公式可得 P(A)1P(A)，
4、这个公式很有用，当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转化为求其对立事件的概率，从而大大地简化求某些事件概率的计算三、古典概型1古典概型的概率公式P(A)事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数2古典概型的特点：等可能性和有限性3从集合角度认识古典概型在一次试验中，等可能出现的 n 个结果组成一个集合，这 n个结果就是集合 的 n 个元素各基本事件均对应于集合 的含有1 个元素的子集，包含 m 个结果的事件 A 对应于 的含有 m 个元素的子集 A.因此从集合角度看，事件 A 的概率是子集 A 的元素个数与集合 的元素个数的比值，即 P(A)mn.四、几何概型1几何概型的计算公式P(A)构成事
5、件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2与面积有关的几何概型(1)确定几何度量；(2)计算试验对应的几何度量 u()和所求事件对应几何度量u(A)；(3)代入公式可求解3与体积有关的几何概型，求解的关键有二：一是确定几何度量为体积，二是准确计算几何体的体积.热点考点例析 专题一互斥事件与对立事件的概念及应用1.互斥事件与对立事件的联系与区别：不可能同时发生的事件称为互斥事件，对立事件则要同时满足两个条件：一是不可能同时发生，二是必有一个发生，两个事件是对立事件的前提是互斥事件在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生且
6、不可能同时发生2互斥事件与对立事件的概率计算：(1)若事件 A1，A2，An 彼此互斥，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)设事件 A 的对立事件是A，则 P(A)1P(A)(2)应用互斥事件的概率加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和对于较复杂事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)1P(A)求解例 1 有 3 个两两互斥的事件 A，B，C，已知事件 ABC是必然条件，事件 A 的概率是事件 B 的概率的
7、 2 倍，事件 C 的概率比事件 B 的概率大 0.2.求事件 A，B，C 的概率【解析】设 P(B)x，则 P(A)2P(B)2x，P(C)P(B)0.2x0.2.故 1P(ABC)P(A)P(B)P(C)2xx(x0.2)4x0.2，所以 x0.2，即 P(A)0.4，P(B)0.2，P(C)0.4.能力挑战 1 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 nm2 的概率解：(1)从袋中随机取
8、两个球，可能的结果有 6 种，而取出的球的编号之和不大于 4 的事件有两个：1 和 2,1 和 3，所以取出的球的编号之和不大于 4 的概率 P113.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，所有(m，n)有 16 种，而 nm2 有 1 和 3,1 和 4,2 和 4 三种结果，所以 nm2 的概率P21 3161316.专题二利用古典概型求概率 古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性对于古典概型概率的计算，关键是分清基本
9、事件个数 n 与事件A 中包含的结果数 m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式 P(A)mn求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏例 2 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，求选出的 2 名教师性别相同的概率；(2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，求选出的 2 名教师来自同一学校的概率【解】甲校两男教师分别用 A、B 表示，女教师用 C 表示；乙校男教师用 D 表示，两女教师分别用 E、F 表示(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选 1
10、名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共 9 种 从中选出的 2 名教师性别相同的结果为：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共 4 种所以选出的 2 名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 种 从中选出的 2 名教师来自同一学校的结果为：(A，B)，(A
11、，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 6 种 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 61525.能力挑战 2 海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.地区ABC 数量50150100(1)求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量；(2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率解析：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650150100 150，所以样本包含三个
12、地区的个体数量分别是 50 1501,150 1503,100 1502.所以这 6 件样品中来自 A，B，C 三个地区的数量分别为 1,3,2.(2)设 6 件来自 A，B，C 三个地区的样品分别为 A；B1，B2，B3；C1，C2，则从这 6 件样品中抽取的 2 件商品构成的所有基本事件为：A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B3)，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共 15 个 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 记事件 D“抽取的这 2 件商品来自相同地区”，则事件 D
13、 包含的基本事件有：B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共 4 个 所以 P(D)415，即这 2 件商品来自相同地区的概率为 415.专题三利用几何概型求概率 若试验同时具有：基本事件的无限性；每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用 P(A)mn求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想例 3 如图所示，OA1，在以 O 为圆心，OA 为半径的半圆弧上任取一点 B，求使AOB 的面积大于等于14的概率【解】如图所示，作 OCOA，C 在半圆弧上，过 OC 中点 D 作 OA的平行线交半圆孤于
14、 E、F，所以在 EF 上取一点 B，则 SAOB14.连接 OE、OF.因为 OD12OC12OF，OCEF，所以DOF60，所以EOF120，所以 l EF 120180l23.所以由几何概型得，使AOB 的面积大于等于14的概率 Pl EF123 23.能力挑战 3 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 s 内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 s 为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 s 的概率是()A.14 B.12C.34D.78解析：设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为 x，y，则
15、 0 x4,0y4，而事件 A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 s”，即|xy|2，其表示的区域为如图所示的阴影部分 由几何概型概率公式，得 P(A)42212224234.答案：C专题四概率与统计的综合问题 统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且概率与统计的综合问题常常以统计图表(茎叶图、频率分布直方图为主)为背景，考查观察、分析图表，处理数据的能力例 4 随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名学生，测量他们的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图(1)根据茎叶图判断哪个班的平均体重较重；(2)计算甲班的众数、极差和样本方差；
16、(3)现从乙班(这10名)体重不低于64 kg的学生中随机抽取两名，求体重为 67 kg 的学生被抽取的概率【解】(1)乙班的平均体重较重(2)众数为 51，极差为 714031，x 110(40503516061626371)56，s271.8.(3)从乙班(这 10 名)体重不低于 64 kg 的学生中随机抽取两名共有以下 6 种不同的方法：(64,65)，(64,67)，(64,72)，(65,67)，(65,72)，(67,72)设 A 表示随机事件“体重为 67 kg 的学生被抽取”则 A 中的基本事件有 3 个：(64,67)，(65,67)，(67,72)所以概率为 P(A)12
17、.能力挑战 4 空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由空气质量指数决定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重：空气质量指数035357575115115150150250250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染对某市空气质量指数进行一个月(30 天)的监测，所得的条形统计图如图所示：(1)估计该市一个月内空气受到污染的概率(若空气质量指数大于或等于 75，则空气受到污染)；(2)在空气质量类别为“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中用分层抽样的方法抽取一个容量为 6 的样本，若在这 6 个数据中任取 2 个数据，求这 2 个数据所对应的空气质量类别不都是轻
18、度污染的概率解：(1)空气受到污染的概率 P1230 430 230183035.(2)易知用分层抽样的方法从“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中抽取的个数分别为 2,3,1.设它们的数据依次为 a1，a2，b1，b2，b3，c1，则抽取 2 个数据的所有基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b3，c1)，共 15 种 设“这两天的空气质量类别不都是轻度污染”为事件 A，则 A中的基本事件数为 12，所以 P(A)121545，即这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率为45.
