1、4.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 4.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式双基研习面对高考 双基研习面对高考 1同角三角函数基本关系式基础梳理 2.诱导公式九组诱导公式列表如下：思考感悟1同角三角函数基本关系式体现了怎样的转化关系？提示：平方关系 sin2cos21 体现了同角的正弦、余弦之间的转化，如 sin 1cos2，cos 1sin2.商数关系体现了切与弦之间的转化，倒数关系体现了正、余切之间的转化2结合诱导公式，判断角n(nZ)与角的三角函数值的关系是什么？提示：由公式可以看出，与 加上 的偶数倍的所有三角函数值相等；与 加上 的奇数倍
2、的余弦、正弦值互为相反数；与 加上 的整数倍的正切值相等，即sin(n)sin当n为奇数sin 当n为偶数，cos(n)cos当n为奇数cos 当n为偶数，tan(n)tan，nZ.课前热身 1(教材例 3 改编)若 tan 2，则下列各组正确的是()A.cos 33sin 63 B.cos 33sin 63C.cos 22sin 22D.cos 33sin 63答案：A2.1sin2585()A 22B.22C 32D.32答案：B3tan600的值是()A 33B.33C 3D.3答案：D4若 sin(6)a，则 cos(23)_.答案：a5如果 cos15，且 是第四象限的角，那么 co
3、s2 _.答案：2 65考点探究挑战高考 同角三角函数关系式及应用 对于同一个角的不同三角函数值之间的相互转化都可以考虑基本关系式，主要是已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他五种三角函数值考点突破(1)已知 sin13，且 为第二象限角，求 tan，cot，sec；(2)已知 sin13，求 tan；(3)已知 sinm(m0，m1)，求 tan.例1【思路分析】(1)由sin13，为第二象限角 求cos值 求tan的值(2)根据sin的值判断角所在的象限 分类求cos的值 求tan的值(3)由sinm求cos的值 讨论所在象限 分别求tan的值【解】(1)sin13，为第二象限角，c
4、os11322 23，tansincos 24，cot 1tan2 2，sec 1cos3 24.(2)sin130，为第一或第二象限角当 为第一象限角时，cos 1sin22 23，tan 24；当 为第二象限角时，由(1)知 tan24.(3)sinm(m0，m1)，cos 1sin2 1m2(当 为一、四象限角时取正号，当 为二、三象限角时取负号)，所以当 为第一、四象限角时，tanm1m2；当 为第二、三象限角时，tanm1m2.【思维总结】对于这类问题是否讨论，主要取决于平方关系中的开方计算，如sin 1cos2，要根据 sin 的正负cos 1sin2，要根据 cos 的正负诱导公
5、式及应用 诱导公式主要是形如角“k”或“k2”的各种三角函数值的变形已知f()sincos2tan32 cotsin.(1)化简 f()；(2)若 313，求 f()的值例2【思路分析】先利用诱导公式逐项把已知式化简为最简形式，再利用同角三角函数基本关系或诱导公式求值【解】(1)f()sincoscotcotsincos.(2)313 6253，f(313)cos(313)cos(313)cos(523)cos312.【思维总结】化简变形时，通常先用诱导公式将三角函数式的角统一后，再用同角三角函数关系式，这样可以避免公式交错使用时导致的混乱互动探究 1 在本例中，若 是第三象限角，且 cos(
6、32)15，求 f()的值解：cos(32)sin，sin15，cos115225 6.f()25 6.在三角函数的变换求值中，已知sincos，sincos，sincos(或cossin)中的一个，可利用方程的思想求出另外两个的值其常用结论有：(1)(sincos)212sincos；(2)(sincos)212sincos；(3)(sincos)2(sincos)22；(4)(sincos)2(sincos)24sincos.sincos与sincos关系的应用 已知2x0，sinxcosx15.(1)求 sinxcosx 的值；(2)求 tanx 的值例3【思路分析】可与sin2xcos
7、2x1联系，求出2sinxcosx的值，再求出(sinxcosx)2的值，就求出sinxcosx的值，从而求出sinx、cosx的值，求出tanx的值【解】(1)由 sinxcosx15平方得，12sinxcosx 125，2sinxcosx2425，(sinxcosx)212sinxcosx4925，又2x0，sinxcosx0，即 sinxcosx75.(2)由(1)得sinxcosx15，sinxcosx75，sinx35，cosx45.tanxsinxcosx354534.【思维总结】本题也可以直接利用sin2xcos2x1sinxcosx15求 sinx 与 cosx 的值但要根据条
8、件进行舍根互动探究2 在本例中，若x的范围变为“x为三角形的内角”其余条件不变，求tanx的值解：由 sinxcosx15，2sinxcosx24250.cosx0.(sinxcosx)212sinxcosx124254925.sinxcosx75.由sinxcosx15sinxcosx75得sinx45cosx35.tanxsinxcosx43.此类问题就是利用三角函数化简的方式，结合三角公式推导出关于三角函数形式的等式成立，一般采用从等式的一边开始直接推证它等于另一边或采取左右归一法三角恒等式的证明 证 明：cos1sin sin1cos 2cossin1sincos.例4【思路分析】可从
9、三个方面考虑：(1)由左到右，以右式为“果”，因为左边是两个分式，而右边为一个分式，故将左式通分，分子因式分解产生因子(cossin)与1sincos，而缺少“2”这个因子，故分子分母同乘以2，并设法使分母产生因子1sincos，以便约分(2)仍由左到右，因为右式分母有因子 1sincos，故将左式分母分子同乘以 1sincos.(3)证明关键在于化左、右两边为同分母，而 1sincos 是最简单的形式，联想到课本中等式：cos1sin1sincos，sin1cos1cossin和等比性质，断定由此可以将左端两式的分母化为 1sincos.【证 明】法 一：左 边 coscos2sinsin2
10、1sin1coscossin1sincos1sincossincos2cossin1sincos1sincos2 2cossin1sincos右边原式成立法二：左边1sincos1sincos(cos1sin sin1cos)11sincos(cos cos21sinsin sin21cos)11sincos(cos sin 1sin21sin 1cos21cos)2cossin1sincos右边，原式成立法 三：cos1sin 1sincoscos1sin1sincos sin1cos1cossinsin1cos1sincos 得cos1sin sin1cos cos1sin1sincoss
11、in1cos1sincos 2cossin1sincos.【思维总结】运用三个基本关系式进行化简、求值、证明时，主要是灵活运用公式，消除差异，其思维模式归纳为三点：发现差异：观察角、函数、关系结构的差异；寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化方法技巧方法感悟 1同角三角函数的另外五个关系式1tan2sec2；1cot2csc2；cotcossin；cossec1；sincsc1.如例 1.2角k90(kZ)的三角函数的诱导公式归纳为：“奇变偶不变，符号看象限”其含义为：当k是奇数时，函数名称发生变化；当k为偶数时，函数名称保持不变；“符号看象限”即
12、根据k90所在象限原三角函数值的符号确定、.3求已知角的三角函数值其转化角的一般步骤为4证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法：由较繁的一边向简单一边化简；(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子；(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明失误防范1在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号如例 1.2利用诱导公式时要分清 k，还是k2 的形式，以确定结果是否改变函数名称如例 2.考向瞭望把脉高考 同角三角函数的基本关系式及诱导公式是三角变形的基本公式，同时也是高考命题的热点之一，以选择题、填空题的形式出现，试题通常以化简、求值为主，考查公式的运
13、用，恒等变形的基本技能、及基本运算能力，难度较低，如2010年的高考中，大纲全国卷和卷，都对该部分内容进行了单独考查外，还与其它的和、差、倍角公式相结合考查考情分析 预测2012年的高考，仍是以基本知识和计算进行考查命题探源(2010 年高考大纲全国卷文)已知 是第二象限的角，tan 12，则cos _.例【解析】是第二象限的角，cos 0.又 sin2cos21，tan sin cos 12，cos 2 55.【答案】2 55【名师点评】此题较简单，在教材中有很多与它类似的题目，主要考查象限角及符号的概念，同角三角函数基本关系此题的得分率较高名师预测 1已知 sin()2sin(2)，则si
14、ncos()A.25 B25C.25或25D15解析：选 B.由已知得 sin2cos，即 tan 2，所 以 sincos sincossin2cos2 tantan21 24125，选 B.2已知 是第二象限的角，且 sin()35，则 tan2 的值为()A.45B237C247D249解析：选 C.由 sin()35，得 sin35，是第二象限的角，cos45，从而得 tan34，tan 22tan1tan22341342 247.3下列关系式中正确的是()Asin11cos10sin168Bsin168sin11cos10Csin11sin168cos10Dsin168cos10sin11解析：选 C.sin168sin(18012)sin12，cos10sin(9010)sin80.又ysinx 在 x0，2上是增函数，sin11sin12sin80，即 sin11sin168cos10.4已知 tan2，那么 cos(232)的值等于_解析：tan2，cos(232)sin2 2sincossin2cos2 2tantan21 44145.答案：45本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
