1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020-2021学年高一数学上学期期初考试试题（含解析）一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1. 下列说法正确的有( )(1)很小的实数可以构成集合;(2)集合与集合是同一个集合;(3) 这些数组成的集合有5个元素;(4)任何集合至少有两个子集.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】【分析】利用集合元素的特征，集合中元素的含义，子集的定义，判断命题的子集即可【详解】（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，显然（1）不正确（2）集合y|yx21与集合（x，y）|yx21不是同一个集合，前者是函数的值域，后者是点的集合；所以不正确（3
2、）不正确；因为，集合中的元素是互异的，所以说这些数组成的集合有5个元素不正确，（4）例如空集，只有一个子集所以任何集合至少有两个子集是不正确的；故选：A【点睛】本题考查命题的真假，集合概念的理解与应用，是基本知识的考查2. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将集合化简，直接根据集合的交集运算得出结论.【详解】集合或又，.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题型.3. 集合，则阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意分别求函数的定义域和的值域，从而求出集合A、B；再根据图形阴影部分表示的集合是求得结果.【详解
3、】解：由，得，由，得，则图中阴影部分表示的集合是.故选：D.【点睛】本题考查了求Venn图表示的集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出，属于基础题.4. 不等式 和 的解集分别为和，且，则实数取值范围是( )A. (0,1)B. 0,1C. -1,1D. (-1,1)【答案】D【解析】【分析】解不等式x2x20与不等式x2（2a+1）x+a2+a0，求出集合A、B；再由AB，列出关于a的不等式组，求出解集即可【详解】解不等式x2x20，得x1或x2，A（，12，+）；解不等式x2（2a+1）x+a2+a0，得xa或xa+1，B（，a）（a+1，+）；又AB，
4、解得1a1，实数a的取值范围是（1，1）故选：D【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合基本关系的应用问题，是基础题目5. 下列四种说法正确的有( )函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了；f(x)是函数；函数y2x(xN)的图象是一条直线；f(x) 与是同一函数A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】【分析】由函数的三要素：定义域和对应法则、值域，对于，可举yx，yx3，即可判断；对于，求出x满足的条件，即可判断；对于，考虑定义域N，即可判断；对于，考虑函数的定义域，即可判断【详解】，函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系不一定确定，比如函数的定
5、义域和值域均为R，而函数的对应关系可为yx，yx3，故错误；，由x30，且2x0，可得x，则f（x）不是函数，故错误；，由于N为自然数集，函数y2x（xN）的图象是一些点，故错误；，f（x）即f（x）x，（x0），而g（x）x，（xR），两个函数的定义域不同，不是同一函数，故错误其中说法正确的个数为0故选：A【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是函数的定义和图象，考查运算能力和推理能力，属于基础题6. 已知，则函数( )A. 有最小值，无最大值B. 有最小值 ，最大值1C. 有最小值1，最大值D. 无最小值和最大值【答案】C【解析】【分析】根据对称轴判断f（x）在0，上的单调性，根据单调性判断
6、最值【详解】f（x）x2+x+1（x）2，f（x）在区间0，上是增函数，f（x）minf（0）1，f（x）maxf（）故选：C【点睛】本题考查了二次函数的最值，涉及到函数的单调性，属于基础题7. 设函数，则（ ）A B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】由自变量的范围直接代入可得，进而可得，再代入计算即可得解.【详解】因，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查了分段函数函数值的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.8. 设函数，则使得的自变量的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，当时，令，即或，解得或；当时，令，解得，综上所述，使得的自变量的取
7、值范围为，故选A考点：分段函数的应用【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键9. 定义在R上的偶函数在0,7上是增函数，在7，)上是减函数，又f(7)6，则f(x)()A. 在7,0上是增函数，且最大值是6B. 在7,0上是减函数，且最大值是6C. 在7,0上是增函数，且最小值是6D. 在7,0上是减函数，且最小值是6【答案】B【解析】【详解】函数是偶函数
8、，而且在0，7上为增函数，函数在-7，0上是减函数.又函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，最大值为f(7)=f(-7)=6.故选B.10. 已知函数是偶函数，则在上此函数A. 是增函数B. 不是单调函数C. 是减函数D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】先由函数为偶函数求得，进而由抛物线的性质可得解.【详解】因为函数是偶函数，所以函数图像关于轴对称，即，解得.所以为开口向下抛物线，所以在上函数单调递增.故选A.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质及二次函数的单调性，属于基础题.11. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x20，)(x1x2
9、)，有，则（ ）A. f（3）f(2)f（1）B. f（1）f(2)f（3）C. f(2)f（1）f（3）D. f（3）f（1）f(2)【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性有f(2)f（2），再由可得出f(x)在0，)上是减函数，由此可得选项.【详解】f(x)是偶函数，f(2)f（2）又任意的x1，x20，)(x1x2)，有，f(x)在0，)上是减函数又12f（2）f(2)f（3），故选：A.【点睛】本题考查由函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，属于基础题.12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由的定义域求出定义域，进而可
10、求出的定义域.【详解】解：因为函数的定义域为，即，所以，所以函数的定义域为；由得，所以函数的定义域是.故选：D.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，已知的定义域求的定义域，即是求的范围；已知定义域求定义域，即是解对应的不等式；属于常考题型.13. 若满足，且在(，0)内是增函数，又，则的解集是()A. (2,0)(0,2)B. (，2)(0,2)C. (，2)(2，)D. (2,0)(2，)【答案】A【解析】【分析】由于本题是一个奇函数且在区间（，0）上是单调增函数，又f（2）0，可以得出函数的图象特征由图象特征求解本题中的不等式的解集即可【详解】f（x）f（x），f（x）是奇函数，且在区间
11、（，0）上是单调增函数，又f（2）0，f（2）0，且当x2或0x2时，函数图象在x轴下方，当x2与2x0时函数图象在x轴上方xf（x）0的解集为（2，0）（0，2）故选：A【点睛】本题考点是函数的奇偶性与单调性的综合，考查根据函数的性质推测出函数图象的特征，利用函数图象的特征解不等式，由此特征结合函数的图象不难得出不等式的解集由此可以看出求解本题的关键是把函数图象特征研究清楚，以形助数14. 已知是偶函数，且时，若当时，的最大值为m，最小值为n，则（ ）A. 2B. 1C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】先求在上的最大值和最小值，根据偶函数的性质，即可得解.【详解】时，可得在上递减，在上递
12、增，所以在上的最小值为，由，故最大值为5，由于是偶函数，所以在上的最小值为4，最大值为5，即.故选：B.【点睛】本题考查了偶函数的性质以及对勾函数的性质，考查了转化思想，属于基础题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）15. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】由，解出的范围，可得函数的定义域【详解】由，可得则函数的定义域为故答案为：【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题16. 已知是一次函数，则的解析式为 【答案】【解析】【分析】设f（x）=kx+b，k0，由已知得(4k+2b)-(3k+3b)=52b-(-k+b)=1，由此能求出f（x）=3x-2【详解
13、】f(x)是一次函数,2f(2)3f(1)=5,2f(0)f(1)=1，设f(x)=kx+b，k0，则f(2)=2k+b,f(1)=k+b,f(0)=b,f(1)=k+b，因为，解得k=3，b=2，f(x)=3x2.故答案为：3x2.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求一次函数的解析式，意在考查运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.17. 若函数在区间上是单调减函数，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先由得到其对称，再由在区间上是减函数，则对称轴在区间的右侧，所以有，计算得到结果【详解】解：的对称轴为，在区间上是减函数，开口向上，则只需，即故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数
14、的单调性，研究的基本思路是：先明确开口方向，对称轴，然后研究对称轴与区间的相对位置，属于基础题18. 函数的值域为_【答案】【解析】【分析】令t，则x且t0，然后结合二次函数的性质即可求解【详解】令t，则x且t0，y4x52t2+t+1，其图象开口向上，对称轴t，在0，+）上单调递增，故t0时，函数有最小值1，值域1，+），故答案为：1，+）【点睛】本题主要考查了利用换元法求解函数的值域及二次函数值域的求解，属于基础试题19. 已知是定义在R上奇函数，满足，则_.【答案】0【解析】【分析】根据f（x）是R上的奇函数，以及f（1x）f（1+x）即可得出f（3）f（1），f（4）f（2），从而求出
15、f（1）+f（2）+f（3）+f（4）0【详解】f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1x）f（1+x），函数f（x）关于x=1对称，f（3）f（1）f（1），f（4）f（2）f（2），f（1）+f（2）+f（3）+f（4）0故答案为：0【点睛】考查奇函数的定义及对称性的应用，以及已知函数求值的方法20. 已知为定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则不等式的解集为_.【答案】【解析】分析】根据题意，分析可得f（x+1）f（x+2）2x+3f（x+1）+（x+1）2f（x+2）+（x+2）2g（x+1）g（x+2），由函数奇偶性的定义分析可得g（x）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g（x+1）g
16、（x+2）|x+1|x+2|，解可得x的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，g（x）f（x）+x2，则f（x+1）f（x+2）2x+3f（x+1）+（x+1）2f（x+2）+（x+2）2g（x+1）g（x+2），若f（x）为偶函数，则g（x）f（x）+（x）2f（x）+x2g（x），即可得函数g（x）为偶函数，又由当x（，0时，g（x）单调递增，则g（x）在0，+）上递减，则g（x+1）g（x+2）|x+1|x+2|（x+1）2（x+2）2，解可得x，即不等式的解集为（，+）；故答案为（，+）【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于中档题三、解答题
17、（本大题共6小题，共70.0分）21. 已知集合，全集为实数集R.（1）求，；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用集合交并补的定义进行计算即可；（2）利用结合数轴，可求得a的取值范围详解】（1），.，或，或.（2）如图所示，当时，（或用补集思想）【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查利用集合间的关系求参数范围，属于基础题22. 若函数的定义域和值域都为，求b的值.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质，确定出函数在上单调递增，列出方程求出b的值【详解】函数开口向上，对称轴为在上单调递增， ，即，解得或又，【点睛】本题考查二次函数的性质，考查单调性的应
18、用，属于基础题23. 已知是上的偶函数，当时，.（1）求当时，函数的表达式； （2）作出函数的示意图象，并指出其单调区间【答案】（1）；（2）单调减区间为：，单调增区间为：.【解析】【分析】（1）当时，首先转化到，即可利用已知条件时的解析式，将代入函数解析式化简得，最后由函数为偶函数得到所求部分的解析式;（2）中考查的是关于分段函数图像以及单调性问题，做图像时需注意做出整个二次函数图像后取相应的自变量范围内的部分，利用图像观察得到单调区间【详解】（1）设则，又因为为偶函数，即：当时，函数的表达式是；（2）函数的示意图如下所示：单调减区间为：，单调增区间为：.24. 已知是定义在上的增函数，且满
19、足f（xy）f（x）f（y），f（2）1（1）求证：；（2）求不等式的解集【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据，结合f（xy）f（x）f（y），利用赋值法即可求得，则问题得证；（2）等价转化不等式，利用函数单调性，即可求得不等式解集.【详解】（1）由题意得（2）原不等式可化为由函数是上的增函数得，解得故不等式的解集为【点睛】本题考查抽象函数函数值的求解，以及利用函数单调性解不等式，属综合基础题.25. 已知二次函数的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为.(1)求函数的解析式；(2)设函数，求在区间上的最小值【答案】(1) ,(2) 【解析】【分析】（1）由f（x）的对
20、称轴方程以及图象过点（1，13），求出b、c的值，从而写出f（x）的解析式；（2）化函数g（x）为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出g（x）在区间t，2上的最小值H（t）【详解】（1）f（x）x2+bx+c的对称轴方程为，b1； 又f（x）x2+bx+c的图象过点（1，13），1+b+c13，c11；f（x）的解析式为f（x）x2+x+11（2）函数g（x）f（x）x213|x|（x2+x+11）x213|x|（x2）|x|，画出函数图象，如图：令，解得或（舍）当1t2时，g（x）mint22t；当时，g（x）min1；当时，综上，H（t）【点睛】本题考查了求函数的解析式以及求函数在某一
21、区间上的最值情况，解题时应结合函数的图象与性质来解答，是易错题26. 已知函数的定义域为，对于任意的，都有且当时，若.(1)求证：为奇函数；(2)求证: 是上的减函数；(3)求函数在区间-2,4上的值域.【答案】(1)见解析,(2)见解析,(3) -8,4【解析】【分析】（1）先利用特殊值法，求证f（0）0，令yx即可求证；（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（x）f（x），利用定义法进行证明；（3）由函数为减函数，求出f（2）和f（4）继而求出函数的值域，【详解】（1）f（x）的定义域为R，令xy0，则f（0+0）f（0）+f（0）2f（0），f（0）0令yx，则f（xx）f（x）+f（x）
22、，即f（0）f（x）+f（x）0f（x）f（x），故f（x）为奇函数（2）任取x1，x2R，且x1x2，则f（x2）f（x1）f（x2）+f（x1）f（x2x1）又x2x10，f（x2x1）0，f（x2）f（x1）0，即f（x1）f（x2）故f（x）是R上的减函数（3）f（1）2，f（2）f（1）+f（1）4又f（x）为奇函数，f（2）f（2）4，f（4）f（2）+f（2）8由（2）知f（x）是R上的减函数，所以当x2时，f（x）取得最大值，最大值为f（2）4；当x4时，f（x）取得最小值，最小值为f（4）8所以函数f（x）在区间2，4上的值域为8，4【点睛】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域
