1、宁夏吴忠中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简集合，再根据集合交集定义运算即可.【详解】因为，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零，列出关于实数的不等式组，解出即可得出函数的定义域.【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.故选：B.【点睛】本题考查函数定义域的求解，熟悉一些常见函数定义域的求解原
2、则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.3.在中，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先通过余弦定理求出，再利用三角形的内角和为求出.【详解】解：由余弦定理得，则，又，则.故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础题.4.如果等差数列中，+=12，那么+=（ ）A. 14B. 21C. 28D. 35【答案】C【解析】试题分析：等差数列中，则考点：等差数列的前项和5.若，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.【详解】解：，当且仅当时取等号.的最小值是.故选：C.【点睛】本题考查了“乘
3、1法”和基本不等式的性质，属于基础题.6.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.7.已知向量，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以2m-2=0,解得m=1,所以，选B.8.若，且，则的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】，选B9.已知命题:，命题:是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用二次函数与对数函数的单调性即可判断出命题的真假.利用幂函数即可判断出
4、命题的真假.【详解】解：命题:，是真命题.命题:是定义域上的增函数，因此是假命题.下列命题中为真命题的是.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数与对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.对于任意实数，有以下四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】由不等式的性质，逐个选项验证可得.【详解】选项，则正确，由不等式的性质可得；选项若，则正确，由不等式的可加性可得；选项若，则错误，比如若均为正数，可得；选项，则错误，比如12，但.故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，属基础题
5、.11.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（ ）.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，）A. 92B. 39C. 80D. 60【答案】D【解析】【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在RtACD、RtABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.【详解】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则RtACD中，C30，AD46m，根据正弦定理得.故选：D.【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题
6、.12.已知数列满足，且，则最小值为（ ）A. 21B. 10C. D. 【答案】C【解析】【分析】由累加法求出，所以，设，由此能导出或时有最小值，借此能得到的最小值.【详解】解：所以设，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递减，又因为，所以当或时可能取到最小值.又因为，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线与圆交于两点，则_【答案】【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得
7、弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.【详解】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.14.已知等比数列，若，则_.【答案】或【解析】【分析】先利用等比数列性质得，再利用等比数列的通项公式列方程求出公比，进而可得.【详解】解：由得，设等比数列的公比为，则由得，解得或，所以或.故答案为：或.【点睛】本题考查等比数
8、列通项公式的基本量的计算，考查学生计算能力，是基础题.15.若，且，那么形状一定是_.【答案】等边三角形【解析】【分析】由已知及余弦定理可得，又，可解得，又，由正弦定理，余弦定理解得，整理解得，可得三角形为等边三角形.【详解】解：，由余弦定理可得：，又，由正弦定理可得：，根据余弦定理即有：，整理可得：，即有：，结合，从而有.故三角形为等边三角形.故答案：等边三角形.【点睛】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及等腰三角形的判定，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基本知识的考查.16.已知实数满足则的取值范围是 .【答案】【解析】【详解】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线距离的平方为的最小
9、值，为，原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为，因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.三、解答题（本题共6小题，共70分，要写出必要的文字叙述、演算步骤及推理过程）17.已知关于不等式对于所有的实数都成立，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】分和讨论，当时需，且对应二次方程的判别式小于0，联立不等式求解的取值范围.【详解】解：当时，原不等式可化为，即.不
10、满足题意；当时，要使不等式对于所有的实数都成立，则，即.解得：.综上，使不等式对于所有的实数都成立的的取值范围是.【点睛】本题考查了恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”结合求解含参数的范围问题，是中档题.18.在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.解，即可求出a，c；（2） 在中，利用同角基本关系得由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果.（1）由得，又，所以ac=6.由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3
11、，c=2.因为ac, a=3，c=2.（2）在中，由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.于是=.考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.19.围建一个面积为360m2矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）（）将y表示为x的函数；（）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【答案】（）y=225x+（）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元【解析】试题分析：（1）
12、设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m则45x+180（x-2）+1802a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）当且仅当225x=时，等号成立即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元考点：函数模型的选择与应用20.已知正项等差数
13、列的前项和为，若，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列S3=12,等差中项的性质，求得a2=4，结合 2a1，a2，a3+1成等比数列，得a22=2（a2-d）（a2+d+1），进而求得的通项公式；（2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和.【详解】设公差为d，则S3=12，即a1+a2+a3=12，3a2=12，a2=4，又2a1，a2，a3+1成等比数列，a22=2（a2-d）（a2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），an=a2+（n-2）d=3n-2（2） ， 得 -得 ， 【点睛】本题考查了等
14、差数列和等比数列的性质，以及等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，考查了数列求和的错位相减法错位相减法适用于型数列，其中分别是等差数列和等比数列.21.设三个内角的对边分别为,的面积满足.(1)求角的值;(2)求的取值范围.【答案】(1) (2).【解析】【详解】试题分析：（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合同角的商数关系，可得角的值；（2）由三角形的内角和定理，可得，运用两角和差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围试题解析：(1),求得,所以.(2)因为,所以,即;经三角变换得因为,所以,所以.22.为数列的前项和.已知，（1）求的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1），时，相减可得，利用等差数列的通项公式可得；（2），利用裂项求和方法即可得出，再将恒成立问题转化为的最大值问题，即可求出实数的取值范围.【详解】解：（1），时，相减可得：，化为：，即，又，解得.数列是等差数列，首项为3，公差为2.；（2），数列前项和，由得，又对任意，恒成立，.【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
