1、第 2 课时 二次函数在闭区间上的最值课时过关能力提升1.若函数 f(x)=x2-2x+1 在区间a,a+2上的最小值为 4,则 a 的取值集合为()A.-3,3B.-1,3C.-3,3D.-1,-3,3解析:函数 f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,图像的对称轴为直线 x=1.f(x)在区间a,a+2上的最小值为 4,当 a1 时,ymin=f(a)=(a-1)2=4,解得 a=3 或 a=-1(舍去);当 a+21 时,即 a-1,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,解得 a=-3 或 a=1(舍去);当 a1a+2 时,ymin=f(1)=04,故 a 的取值集合为-3,3.答
2、案:C2.已知函数 f(x)=-x2+4x 在区间m,n上的值域是-5,4,则 m+n 的取值范围是()A.1,7B.1,6C.-1,1D.0,6解析:f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,f(2)=4.又由 f(x)=-5,得 x=-1 或 5.由 f(x)的图像(图略)知-1m2,2n5.因此 1m+n7.故选 A.答案:A3.函数 y-的值域为 A.0,2B.0,4C.(-,4D.0,+)解析:因为 y-所以y0,2.答案:A4.已知函数 f(x)=x2-2x+3 在闭区间0,m上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是()A.1,+)B.0,2C.1,2D.(-,2解析:因
3、为二次函数的解析式已确定,而区间的左端点也确定,故要使函数在区间0,m上有最大值 3,最小值 2,只有画出草图来观察,如图.因为 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,f(0)=3,f(1)=2,且 f(2)=3.可知只有当 m1,2时,才能满足题目的要求.答案:C5.对于函数 f(x)=-3x2+k,当实数 k 属于()时,才能确保一定存在实数对 a,b(ab0),使得当函数 f(x)的定义域为a,b时,其值域也恰好是a,b.A.-2,0)B-)C(-)()解析:因为 f(x)=-3x2+k,xa,b(ab0),所以 f(x)在a,b上是增加的.所以 即-3x2+k=x 有 2 个负根
4、,所以 3x2+x-k=0.所以 -解得 答案:D6.已知函数 f(x)=ax2+2(a-2)x+a-4,当 x(-1,1)时,恒有 f(x)0,则 a 的取值范围为()A.a2B.a2C.0a2D.a2,且 a0解析:当 a=0 时,f(x)=-4x-4,则此时 f(x)在(-1,1)上是减少的,且 f(-1)=0,则当 x(-1,1)时,恒有 f(x)f(-1)=0,即 a=0 符合题意,排除 C,D;当 a=2 时,f(x)=2x2-2,由于 x(-1,1),则有f(x)=2x2-2f(-1)=f(1)=0.即 a=2 符合题意,排除 B,故选 A.答案:A7.若函数 f(x)=x2-2
5、x+m 在区间2,+)上的最小值为-3,则实数 m 的值为 .解析:因为 f(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,所以 f(x)=x2-2x+m 在区间2,+)上是增加的.所以 f(x)min=f(2)=m=-3.答案:-38.若函数 f(x)=x2-2x,x2,4),则 f(x)的值域是 .解析:函数 f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,函数在区间(-,1上是减少的,在1,+)上是增加的.x2,4),函数在2,4)上是增加的.又 f(2)=0,f(4)=16-8=8,f(x)的值域是0,8).答案:0,8)9.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,bR),若 f(1)=-1,
6、且函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称.(1)求 a,b 的值;(2)若函数 f(x)在区间k,k+1(k1)上的最大值为 8,求实数 k 的值.解:(1)由 f(1)=-1,且函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称可得,f(1)=a+b=-1,解得a=1,b=-2.(2)由 f(x)=x2-2x=(x-1)2-1 可得函数 f(x)在区间(-,1上是减少的,在区间1,+)上是增加的.因为 k1,所以 f(x)在区间k,k+1上是增加的,所以 f(x)max=f(k+1)=(k+1)2-2(k+1)=8,所以 k=3.又 k1,所以 k=3.10.已知函数 f(x)=ax2-|x|+
7、2a-1.(1)若 a=1,求函数 f(x)的递增区间;(2)设 f(x)在区间1,2上的最小值为 g(a),求 g(a)的解析式.解:(1)当 a=1 时,f(x)=x2-|x|+1 -的大致图像如图所示,由图可知函数 f(x)的递增区间为(-)()(2)当 x1,2时,f(x)=ax2-x+2a-1.若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间1,2上是减少的,此时 g(a)=f(2)=-3.若 a0,则 f(x)=(-)的图像的对称轴是直线x 当 即a0 时,f(x)在区间1,2上是减少的,此时 g(a)=f(2)=6a-3;当 0 即a 时,f(x)在区间1,2上是增加的,此时 g(a)
8、=f(1)=3a-2;当 1 2,即 a 时,g(a)=()当 2 即0a 时,f(x)在区间1,2上是减少的,此时 g(a)=f(2)=6a-3.综上,g(a)-11.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 是常数且 a0)满足条件 f(2)=0,且方程 f(x)=x 有等根.(1)求 f(x)的解析式.(2)问是否存在实数 m,n(mn)使 f(x)的定义域和值域分别为m,n和2m,2n?如果存在,求出 m,n 的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)关于 x 的方程 ax2+(b-1)x=0(a0)有等根,=(b-1)2-4a0=0,b=1.又 f(2)=0,4a+2b=0,a=f(x)=(2)假设存在实数 m,n(mn),使 f(x)的定义域和值域分别为m,n和2m,2n.则 f(x)=2n 又二次函数 f(x)=图像的对称轴方程为x=1,当 n 时,f(x)在区间m,n上是增加的,则 即 解得 或 -或 -mn 存在实数 m=-2,n=0,使 f(x)的定义域为-2,0,值域为-4,0.
