1、浙江省2015届高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，N=2，3，6，则U（MN）=（）A1，2，3B5C1，3，4D22（5分）已知p：x25x+60，q：|xa|1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A（，3B2，3C（2，+）D（2，3）3（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（）A6B4C3D24（5分）设，是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A若，则B若m，n，则mn
2、C若，m，则mD若，m，m，则m5（5分）设，为两个互相垂直的单位向量，已知=，=，=m+n若ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则m+n=（）A1或3B1或3C2或4D2或46（5分）已知xy=1，且Oy，则的最小值为（）A2BC4D47（5分）如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP=x（0x2），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）ABCD8（5分）如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x2+y2my=0（m0）和抛物线x2=2py（p0）都相切
3、，切点分别为M，N和A，B，SAON，=，则实数的值为（）A4B2C3D3二、填空题：本大题有7小题，共36分（其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分，3道一空题，每空4分）9（6分）函数f（x）=Asin（x+）（A，为常数，A0，0，0）的图象如图所示，则A=，=，F（）=10（6分）已知等差数列an）的前n项和为Sn=n2+（10+k）n+（k1），则实数k=，an=11（6分）设函数f（x）=，则f（1）=，若f（f（a）3，则实数a的取值范围是12（6分）若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为，三棱锥DBCE的
4、体积为13（4分）点F是抛物线T：x2=2py（y0）的焦点，F1是双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e=14（4分）已知向量=（1，），=（2，0）若（），当t，2时，|t|的取值范围为15（4分）对于任意实数x，记x表示不超过x的最大整数，x=xx，x表示不小于x的最小整数，若x1，x2，xm（0x1x2xmn+1是区间0，n+1中满足方程xxx=1的一切实数，则x1+x2+xm的值是三、解答题：本大题共5小题，共74分（16.17.18.19小题各为15分，20小题为14分）解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤16（15分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=（1）求角A的大小；（2）若函数f（x）=2sin2（x+）cos2x，x，在x=B处取到最大值a，求ABC的面积17（15分）如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点（1）求证：平面CBE平面CDE；（2）求二面角CBEF的余弦值18（15分）如图，椭圆M：+=1（ab0）的离心率为，上、下顶点为A，B，点P（0，2）关于直线y=x的对称点在椭圆M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）（1）求椭圆M的方程；（2）
6、求的取值范围；（3）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由19（15分）已知等差数列an的公差为d（d0），等比数列bn的公比为q（q0），且满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b5（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn的前n项和为Tn，求证：+220（14分）已知函数f（x）=log22xmlog2x+a，g（x）=x2+1（1）当a=1时，求f（x）在x1，4上的最小值；（2）当a0，m=2时，若对任意的实数t1，4，均存在xi1，8（i=1，2），且x1x2，使得=f（t）成立，求实数a的取值范围浙江省2015届高考数学全真模拟
7、试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，N=2，3，6，则U（MN）=（）A1，2，3B5C1，3，4D2考点：并集及其运算 专题：计算题分析：由M与N求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集即可解答：解：M=1，2，4，N=2，3，6，MN=1，2，3，4，6，U=1，2，3，4，5，6，U（MN）=5故选B点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2（5分）已知p：x25x+60，q：|xa|1，若p是q的充分不必要条件，则实
8、数a的取值范围为（）A（，3B2，3C（2，+）D（2，3）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可解答：解：由x25x+60得，即2x3，由|xa|1得a1xa+1，若p是q的充分不必要条件，则，即，则2a3故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键3（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（）A6B4C3D2考点：简单线性规划 专题：计算题；数形结合分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，再求出可
9、行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最小值解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=2x+z，显然当平行直线过点 A（1，1）时，z取得最小值为 3；故选C点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解4（5分）设，是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A若，则B若m，n，则mnC若，m，则mD若，m，m，则m考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：逐个
10、选项进行验证：A中与可以平行，也可以相交；B中的直线m与n可以平行、相交或异面；C中可能有m；选项D由条件可得m解答：解：选项A中与可以平行，也可以相交，故错误；选项B中的直线m与n可以平行、相交或异面，故错误；选项C中可能有m，故错误；选项D正确，若，m，可得m，或m，结合条件可得m故选D点评：本题为直线与平面位置关系的判断，熟练掌握定理结合图象是解决问题的关键，属基础题5（5分）设，为两个互相垂直的单位向量，已知=，=，=m+n若ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则m+n=（）A1或3B1或3C2或4D2或4考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：空间向量及应用分析：根据ABC是以A
11、为直角顶点的等腰直角三角形可得出和的关系，用已知向量表示出和，列出关系式，即可求出答案解答：解：ABC是等腰直角三角形，A为直角，ABAC，=0；由已知得，=；=（m1）+n；=（）（m1）+n=mn1=0；即mn=1；又ABC是等腰三角形，AB=AC，=；=，=，得（m1）2+n2=2；mn=1，m=n+1，代入方程，得2n2=2，n=1；或；m+n=3或m+n=1故答案选：B点评：本题考查了平面向量的基本定理，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则6（5分）已知xy=1，且Oy，则的最小值为（）A2BC4D4考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：xy=1，且Oy，可得4y=，x2，代
12、入变形利用基本不等式的性质即可得出解答：解：xy=1，且Oy，4y=，x2，则=+=4，当且仅当x=2，解得x=时取等号的最小值为4故选：C点评：本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP=x（0x2），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）ABCD考点：函数的图象 专题：综合题；函数的性质及应用分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值
13、，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项解答：解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tanBGM=，即BGM=，所以tanBGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C点评：由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法8（5分）如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x2
14、+y2my=0（m0）和抛物线x2=2py（p0）都相切，切点分别为M，N和A，B，SAON，=，则实数的值为（）A4B2C3D3考点：抛物线的简单性质 专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由圆的切线的性质，结合平行的条件可得四边形MSNO为菱形，由直线和圆相切的条件和勾股定理、弦长公式，解方程可得m=2，直线的斜率为，可得MN=，由直线和抛物线相切的条件：判别式为0，可得切点A，B的坐标，可得AB的长为4，由向量共线定理，即可得到所求值解答：解：由S向圆作切线，可得SM=SN，MSO=NSO，若SAON，即有四边形MSNO为菱形，在直角SMO中，tanSMN=，圆
15、C：x2+y2my=0的圆心为（0，），半径r=，设切线为y=kx+3，k0，由相切的条件可得=，MN=2=，即有k=，将代入可得m=2，k=，则MN=，由y=x+3和抛物线x2=2py，可得x2+2px+6p=0，由判别式12p224p=0，解得p=2，求得切点A（2，3），由于=，即MNAB，则AB=4，即有=4故选：A点评：本题考查直线和圆、抛物线相切的条件，向量共线的定理的运用，考查直线和圆相交的弦长公式，以及平面几何的勾股定理，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题有7小题，共36分（其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分，3道一空题，每空4分）9（6分）函数f（x）=A
16、sin（x+）（A，为常数，A0，0，0）的图象如图所示，则A=2，=2，F（）=1考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：根据图象由最值确定A=2，由周期确定=2T=2，得到f（x）=2sin（2x+），然后以点（，2）代人求解答：解：由图象易知A=2，T=，T=，=2，f（x）=2sin（2x+），由f（）=2sin（2+=2，且0，=，f（x）=2sin（2x+），f（）=2sin（2+）=1，故答案为：2；2；1点评：本题主要考查由部分图象怎样求函数的解析式问题及计算能力10（6分）已知等差数列an）的前n项和为Sn=n2+（10+k）n+（
17、k1），则实数k=1，an=2n+12考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：等差数列an）的前n项和为Sn=n2+（10+k）n+（k1），可得k=1，可得Sn=n2+11n；当n=1时，可得a1；当n2时，an=SnSn1，即可得出解答：解：等差数列an）的前n项和为Sn=n2+（10+k）n+（k1），k=1，Sn=n2+11n，当n=1时，a1=1+11=10；当n2时，an=SnSn1=n2+11n（n1）2+11（n1）=2n+12，当n=1时上式也成立an=2n+12故答案为：1；2n+12点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推
18、理能力与计算能力，属于中档题11（6分）设函数f（x）=，则f（1）=1，若f（f（a）3，则实数a的取值范围是（，考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：由已知中函数f（x）=，将x=1代入，可求出f（1）；再讨论f（a）的正负，代入求出f（a）3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围解答：解：函数f（x）=，f（1）=12=1，若f（a）0，则f2（a）+2f（a）3，解得，3f（a）1，即3f（a）0，若f（a）0，则f2（a）3，显然成立；则f（a）3，若a0，则a2+2a3，解得，aR，即a0若a0，则a23，解得，0a，综上所述，实数a的取值范围是：（，故答案为：1；（，点
19、评：本题考查了分段函数的应用，再已知函数值的范围时，要对自变量讨论代入函数求解，属于基础题12（6分）若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥DBCE的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB平面ACDE，求出四棱锥BACDE的体积、三棱锥EACB的体积，即可求出三棱锥DBCE的体积解答：解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为=4；四棱锥BACDE中，AE平面ABC，AEAB，又A
20、BAC，且AE和AC相交，AB平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，则四棱锥BACDE的体积V=4，又三棱锥EACB的体积为=，三棱锥DBCE的体积为4=故答案为：4；点评：本题考查正视图的面积，考查考查几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等13（4分）点F是抛物线T：x2=2py（y0）的焦点，F1是双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e=考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），利用P是线段
21、FF1的中点，可得P（，），由此即可求出双曲线C的离心率解答：解：双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），F（0，），F1（c，0）线段FF1的中点P（，），=，=，a2=8b2，c2=9b2，e=故答案为：点评：本题考查双曲线C的离心率，考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键14（4分）已知向量=（1，），=（2，0）若（），当t，2时，|t|的取值范围为1，考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由已知求出用t表示的坐标，得到t的坐标，然后用t表示|t|，根据t，2求其范围解答：解：由已知向量=（1，），=（2，0）若（），设=
22、（x，y），则2x+0=0，即x=0，所以=（0，y），则t=（0，t），所以t=（1，t），所以，|t|2=1+（t）2，又t，2，所以当t=时，|t|2的最小值为1；当t=时，|t|2的最大值为13；所以|t|的取值范围为1，；故答案为：1，点评：本题考查了向量的加减法的坐标运算以及向量模的求法15（4分）对于任意实数x，记x表示不超过x的最大整数，x=xx，x表示不小于x的最小整数，若x1，x2，xm（0x1x2xmn+1是区间0，n+1中满足方程xxx=1的一切实数，则x1+x2+xm的值是+考点：数列与函数的综合；函数的值 专题：新定义；函数的性质及应用分析：根据新定义，x表示不超过
23、x的最大整数，x=xx，需要分类讨论，根据条件得到xa+，继而求出a的可能值，最后代入计算即可解答：解：显然，x不可能是整数，否则由于x=0，方程xxx=1不可能成立设x=a，则x=xa，x=a+1，代入得a（xa）（a+1）=1，解得x=a+考虑到x0，n+1，且x0，所以a=1，2，3，4，5，n，故符合条件的解有n个，即m=n，则x1+x2+xm=x1+x2+xn=+1+=+1=+故答案为：+点评：本题考查了函数的值，需要分类进行讨论，新定义一般需要认真读题，理解题意，灵活利用已知定义，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分（16.17.18.19小题各为15分，20小题为14分
24、）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（15分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=（1）求角A的大小；（2）若函数f（x）=2sin2（x+）cos2x，x，在x=B处取到最大值a，求ABC的面积考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用 专题：解三角形分析：（1）把已知等式中的切化弦，利用正弦定理把边转化为角的正弦，整理可求得cosA的值，进而求得A（2）把利用两角和公式对函数解析式化简，利用正弦函数的性质求得函数最大值时B，C和a的值，进而利用正弦定理求得c，最后利用三角形面积公式求得答案解答：解：（1）因为1+=，所以=2sinC，又因为sinC0，所以co
25、sA=，所以A=（2）因为f（x）=2sin2（x+）cos2x=1+2sin（2x），所以，当2x=，即x=时，f（x）max=3，此时B=，C=，a=3因为=，所以c=，则S=acsinB=3=点评：本题主要考查了正弦定理和三角函数图象与性质考查了学生基础公式的运用和一定的运算能力17（15分）如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点（1）求证：平面CBE平面CDE；（2）求二面角CBEF的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 分析：（1）取CE的中点M，连接BM、FM，通过证明BM平面CDE，利用平面与平面垂
26、直的判定定理证明平面 BCE平面 CDE（2）过F作FNCE交CE于N，过N作NHBE，连接HF，则NHF就是二面角CBEF的平面角解答：（1）证明：因为DE平面ACD，DE平面CDE，所以平面CDE平面ACD在底面ACD中，AFCD，由面面垂直的性质定理知，AF平面CDE取CE的中点M，连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FMAB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BMAF所以BM平面CDE又BM平面BCE，则平面CBE平面CDE（7分）（2）解：过F作FNCE交CE于N，过N作NHBE，连接HF，则NHF就是二面角CBEF的平面角在RtFNH中，NH=，FH=，所以cosNHF=故二面角
27、CBEF的余弦值为（15分）点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（15分）如图，椭圆M：+=1（ab0）的离心率为，上、下顶点为A，B，点P（0，2）关于直线y=x的对称点在椭圆M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）（1）求椭圆M的方程；（2）求的取值范围；（3）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由已知得a=2，又e=，故c=，b=1，即可求椭圆M的方程；（2
28、）分类讨论，y=kx+2代入椭圆方程消去y，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，利用数量积公式求的取值范围；（3）由题意得：AD：y=x+1，BC：y=x1，联立方程组，消去x，解得y=，即可得出结论解答：解：（1）由已知得a=2，又e=，故c=，b=1，椭圆M的方程（4分）（2）当直线l斜率不存在时，C（0，1），D（0，1），=1；（5分）当直线斜率存在时，设直线l方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），则y=kx+2代入椭圆方程消去y，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，x1+x2=，x1x2=，0，可得4k23，（7分）=x1x2+y1y2=1+，得1综上可
29、知，的取值范围是1，）（10分）由题意得：AD：y=x+1，BC：y=x1，联立方程组，消去x，解得y=，又4kx1x2=3（x1+x2），得y=点Q的纵坐标为定值（15分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题19（15分）已知等差数列an的公差为d（d0），等比数列bn的公比为q（q0），且满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b5（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn的前n项和为Tn，求证：+2考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得
30、：bn=2n1，可得Tn=2n1，可得 （n2时），即可证明解答：（1）解：满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b5，解得：，故an=3n2（2）证明：由（1）可得：bn=2n1，Tn=2n1， （n2时），当n2时，+=+=1+=22当n=1时，=12符合综上所述，不等式成立点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（14分）已知函数f（x）=log22xmlog2x+a，g（x）=x2+1（1）当a=1时，求f（x）在x1，4上的最小值；（2）当a0，m=2时，若对任意的实数t1，4，均存在xi1，8（i=1，2），
31、且x1x2，使得=f（t）成立，求实数a的取值范围考点：函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：（1），转化成二次函数问题，利用单调性研究最小值（2）令log2t=u（0u2），则f（t）=u22u+a的值域是a1，a由条件列式求解解答：解：（1），其中0log2x2 所以，即m0，此时f（x）min=f（1）=1，当，即m4，此时f（x）min=f（4）=52m，0m4时，当时，所以，f（x）min= （6分）（2）令log2t=u（0u2），则f（t）=u22u+a的值域是a1，a因为y=，利用图形可知，即，解得（14分）点评：本题主要考查以对数函数为背景的二次函数问题，属于中档题目，2015届高考常考题型
