1、第四节 直线与平面垂直第四节 直线与平面垂直 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的_，那么这条直线和这个平面垂直该直线叫做这个平面的垂线，该平面叫做这条直线的垂面即对于直线l和平面，ll垂直于内的_直线所有直线都垂直任意一条(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_都垂直，那么这条直线垂直于这个平面它的数学符号表示为：如果_，那么l.(3)性质定理：同垂直于同一个平面的两条直线_符号表示：_.相交直线m，n，mnB，lm，ln平行a，b，则ab(4)点到平面的距离：从平面外一点引平面的一条
2、垂线，这个点和_间的线段长，叫做这个点到这个平面的距离2斜线在平面内的射影垂足(1)过一点向平面引垂线，垂足叫做这个点在这个平面内的射影；当这一点在平面内时，该点在平面上的射影就是它自身；这一点与_之间的线段长叫做这点到这个平面的距离(2)一条直线和一个平面相交，但不垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做_射影斜足从平面外一点向平面引斜线，这点与_间的线段叫做这点到这个平面的斜线段如上图所示，直线PRR，PR不垂直于，直线PR是的一条斜线，点R为斜足，线段PR是点P到的斜线段(3)平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有_条斜足无数(4)从斜线上
3、斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影如上图所示，直线QR是直线PR在平面上的射影，线段QR是点P到平面的斜线段PR在平面上的射影(5)斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上3直线与平面所成的角(设为)(1)斜线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的_所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角射影锐角(2)当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是_；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为_.0直角直线l和的位置关系 l或l l l和斜交 的取值范围 _ _ _ 0
4、 90(0，2)思考感悟如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面是否垂直？提示：不一定垂直，若平面内一组平行线与直线l垂直，但直线l与平面的关系是不确定的1三棱锥的四个面中直角三角形最多有_个答案：42如果一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是_答案：课前热身 3下列说法正确的个数是_若l上有无数个点不在平面内，则l若直线l与平面垂直，则l与内的任一直线垂直若E、F分别为ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直答案：1
5、4给出下列四个说法：经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；如果一条直线和两个垂直平面的一个垂直，它必和另一个平行；过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在第一个平面内其中正确的是_答案：考点探究挑战高考 直线与平面垂直的判定 考点突破 证明线面垂直的方法和常用结论(1)利用线面垂直的定义(2)利用线面垂直的判定定理(3)两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面(4)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(5)一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面(6)两相交平
6、面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE平面ACD1.【思路分析】根据线面垂直的判定定理，要证明OE平面ACD1，只须在平面ACD1内找两条相交直线分别与OE垂直例1【证明】如图，连结 AE，CE，D1O，D1B1，D1E.设正方体 DB1 的棱长为 a.易证 AECE.又AOOC，OEAC.在正方体 DB1 中易求出：D1ODD21DO2 62 a，OEBE2OB2 32 a，D1ED1B21B1E2 32 a，D1O2OE2D1E2，D1OOE.D1OACO，D1O，AC平面
7、 ACD1.OE平面 ACD1.【名师点评】证明线面垂直，往往利用线线垂直或面面垂直转化，除此外，构造等腰三角形证垂直及利用勾股定理求长度之间的关系证明垂直，甚至借助矩形相邻边的垂直等，都是可能用到的方法已知：SABC为正三棱锥，AH面SBC于H.求证：H是SBC的垂心【思路分析】只需证SHBC、BHSC，要证SHBC，只需证SABC.由于是正三棱锥，所以只需证对棱互相垂直即可线面垂直的性质定理的应用 例2【证明】取BC的中点D，连结AD，SD，则SDBC，ADBC，BC平面SAD.SA平面SAD，BCSA.同理，SCAB，SBAC.连SH.AH平面SBC，BC平面SBC，AHBC，又SABC
8、，AHSAA，BC面SAH，又SH面SAH，BCSH.同理BHSC.H是SBC的垂心【名师点评】证明线线垂直常采用线面垂直进行证明，构造一个线的垂面是证明线面垂直的常用方法变式训练1 如图，已知ADAB，ADAC，AEBC交BC于E，D是FG的中点，AFAG，EFEG，求证：BCFG.证明：如图，连结DE，由ADAB，ADAC，可得AD平面ABC，而BC平面ABC，则ADBC.又AEBC，得到BC平面ADE，AFAG，EFEG，ADEDD，FG平面ADE.由、得到BCFG.对于线面垂直问题，首先应分析它给出了哪些条件，可以得出什么结论，再分析问题是什么，需要什么条件，从而在条件与结论之间搭起一
9、座桥梁，在分析时要紧紧围绕“线线垂直、线面垂直可相互转化”这一思想进行探究与线面垂直有关的探索性问题 如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)在PAD内找一点N，使MN平面PBD.例3【思路分析】(1)取PD的中点E，连结EM、EA.(2)寻找与面PBD垂直的平面及交线，再据面面垂直的性质探寻N点的位置【解】(1)证明：M是PC的中点，取PD的中点E，则 ME 綊12CD，又 AB 綊12CD，四边形 ABME 是平行四边形BMEA，BM平面 PAD，EA平面 PAD，BM平面 PAD.(2)由(
10、1)知ABME为平行四边形 PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB，又ABAD，AB平面PAD.同理CD平面PAD.AE平面PAD，ABAE，ABME为矩形 CDME，CDPD，PDAE.PD平面ABME，PD平面PBD.平面PBD平面ABME，作MFEB，交BE于F，MF平面PBD.延长MF交AE于N，在矩形ABME内，ABME1，AE 2，MF23，NE 22，N 为 AE 的中点当点 N 是PAD 边 PD 上中线的中点时，MN平面 PBD.【名师点评】该题要找平面PBD的垂线，应先找出面PBD的垂面ABME，则垂线就在面ABME内，且与交线BE垂直，故要找垂线往往是先找垂面变式训
11、练 2 A、B、C、D 为空间四点，在ABC 中，AB2，ACBC2，等边三角形ADB 以 AB 为轴转动(1)当平面 ADB平面 ABC 时，求CD；(2)当ADB 转动时，是否总有 ABCD？证明你的结论解：(1)取 AB的 中点 E，连 结 DE、CE，因 为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC，可知DECE.由已知，可得 DE 3，EC1.在 RtDEC 中，CDDE2EC22.(2)当ADB 以 AB 为轴转动时，总有 ABCD.证明：当 D 在平面 ABC 内时，因为 ACBC，ADBD，所以 C、D 都在线段
12、 AB 的垂直平分线上，即 ABCD.当D不在平面ABC内时，由(1)知ABDE.又因ACBC，所以ABCE.又DE、CE为相交直线，所以AB平面CDE，由CD平面CDE，得ABCD.综上所述，总有ABCD.方法技巧1这部分内容知识多，准确理解，熟练掌握定义、判定定理、性质定理并能够进行三种语言的转换是关键2直线与平面垂直的判定方法定义法：直线与平面内任一直线垂直方法感悟 判定定理法：要证一条直线与一个平面垂直，只要证这条直线和这个平面内两条相交直线垂直即可面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面3转化思想的应用：线线、线面、面面的垂直关系可以相互转化
13、：失误防范1在观察空间几何体图形时，线线、线面的垂直“位置”观察错误，没有合理地推导，只凭主观猜想造成结论错误2在某些题目中，所给的边角数量较多，这类题应主要由数量如勾股定理、等腰等，构造出垂直关系，易忽视数量对垂直的影响考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，线面垂直的判定与性质是高考的重点和热点，其题型既有填空题，也有解答题，难度中等偏高 预测2012年江苏高考考查的可能性仍然较大，要求学生有较强的空间想象力，逻辑推理能力以及分析问题解决问题的能力(本题满分14分)如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若PDA45，求证：MN平面PCD.
14、规范解答 例【证明】如图，取 PD 的中点 E，连结 AE，NE.E、N 分别为 PD、PC 的中点，EN 綊12CD.4 分又M 为 AB 的中点，AM 綊12CD.EN綊AM，四边形AMNE为平行四边形 MNAE.PA平面ABCD，PDA45，PAD为等腰直角三角形.7分AEPD.又CDAD，CDPA，CD平面PAD，而AE平面PAD，CDAE.10分 又CDPDD，AE平面PCD.MN平面PCD.14分【名师点评】本题主要考直线面垂直的判定与性质的应用，理清关系，合理转化，对空间想象力，推理论证能力要求较高1已知m、n是两条不同直线，是两个不同平面，有下列4个命题：若mn，n，则m；若m
15、n，m，n，则n；若，m，n，则mn；若m，n是异面直线，m，n，m，则n.其中正确的命题序号是_名师预测 解析：根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理可知正确的命题序号是.答案：2在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个结论：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.则所有正确结论的序号是_解析：如图，设P在面ABC内射影为O，则O为正ABC的中心可证AC面PBO，ACPB；ACDE，可得AC面PDE；BA与DE不垂直，故AB与平面PDE不垂直答案：3如图，在底面为菱形的直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，G为DF的中点求证：
16、(1)EF平面B1BDD1；(2)EG平面AA1D1D.证明：(1)在A1B1C1中，因为E，F分别为A1B1，B1C1的中点，所以EFA1C1，因为底面A1B1C1D1为菱形，所以A1C1B1D1，所以EFB1D1，因为ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以DD1平面A1B1C1D1，又因为EF平面A1B1C1D1，所以DD1EF；又B1D1DD1D1，所以EF平面B1BDD1.(2)延长FE交D1A1的延长线于点H，连结DH，因为E，F分别为A1B1，B1C1的中点，所以EFB1EHA1，所以HEEF，在FDH中，因为G，E分别为DF，HF的中点，所以GEDH，又GE平面A1D1DA，DH平面A1D1DA，故EG平面AA1D1D.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
