1、24.2抛物线的几何性质1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦点准线方程xxyy对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率e11判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()答案：(1)(2)(3)2顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方
2、程是()Ax23yBy26xCx212y Dx26y答案：C3圆x2y28上到点A和到直线x的距离相等的点有_个答案：24抛物线y2px2(p0)的对称轴为_答案：y轴抛物线几何性质的应用(1)等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是()A8p2B4p2C2p2 Dp2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程【解】(1)选B.由抛物线的对称性质及OAOB知，直线OA的方程为yx，由得A(2p，2p)，则B(2p，2p)，所以|AB|4p，所以SABO4p2p4p2，选择B.(2)设
3、所求抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0)，交点A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)，且C(4，2)所以222p4，所以p.故曲线段OC的方程为y2x(0x4，y0)(2)如图，由已知得PQ2y，故P(y2，y)(0y2)，则矩形PQBN中，PQ2y，PN4y2.所以矩形工业园区的用地面积SPQPN(2y)(4y2)y32y24y8(0y0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以165y0，即y0，所以OA的长为51.8(m)所以管柱OA的长为1.8 m.1抛物线的图象所具有的
4、特征抛物线是轴对称图形，其对称轴为x轴或y轴，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，并且离心率为1.2在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较椭圆双曲线抛物线对称轴x轴和y轴x轴或y轴对称中心(0，0)(0，0)无顶点4个2个1个(0，0)焦点2个2个1个准线不研究不研究1条渐近线无2条无离心率e(0，1)e(1，)e1已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且AB9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值【解】(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，
5、所以：x1x2.由抛物线定义得：ABx1x2p9，所以p4，所以抛物线方程为y28x.(2)由p4，4x25pxp20化简得x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4，4)设(x3，y3)(1，2)(4，4)(14，24)又因为y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.综上：0或2.解答本题易误点：一是计算x1，x2，x3出错，二是忽视综上：0或2的书写，造成书写不规范在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化1以x轴为对称轴的抛物线的通
6、径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28xBy28xCy28x或y28x Dx28y或x28y解析：选C.设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，通径为2p8，p4.2设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若OAOB，且AOB的面积为16，则AOB()A30 B45C60 D90解析：选D.由OAOB，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，则SAOB2a16，解得a4，所以|AB|8，OAOB4，所以AOB90.3过点P(0，1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有_条解析：当直线垂直于x轴时满足条件，当直线不垂直于x轴时，设直线方
7、程为ykx1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线答案：34某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16 m，当水面上涨2 m 时，水面宽变为12 m，此时桥洞顶部距水面高度为_ m.答案： A基础达标1顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是()Ay2x By23xCy26x Dy26x解析：选C.顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y22px(p0)，由题意知，故p3.因此，所求抛物线的标准方程为y26x.2已知直线ykxk(k为实数)及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析：选
8、C.因为直线ykxk恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y22px的内部，所以当k0时，直线与抛物线有一个公共点，当k0时，直线与抛物线有两个公共点3过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则为()A4 B4Cp2 Dp2解析：选B.法一：(特例法)当直线垂直于x轴时，点A，B，4.法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得y1y2p2，则4.4有一个正三角形的两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A2p B4pC6p D8p解析：选B.设A、B在y22px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，
9、则AOx30，则OA方程为yx.由得y2p，所以AOB的边长为4p.5直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若AB4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2C. D4解析：选C.直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABx1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.6设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60，则|_解析：如图，过A作ADx轴于D.在RtAFD中，AFD60.令FDm，则FA2m.ADm.根据抛物线的
10、定义可知，pm2m.所以mp.所以| p.答案：p7直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_解析：直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，联立方程组得，消元得x210x90，解得，和，所以AP10，BQ2，PQ8，所以梯形APQB的面积为48.答案：488.如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴 1 m，则为使水不落到池外，水池直径最小为_m.解析：如图，建立平面直角
11、坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则P(1，1)，代入抛物线方程得p，抛物线x2y，代入点(x，2)，得x，即水池半径最小为r(1)m，水池直径最小为2r(22)m.答案：229已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解：由题意，抛物线方程为y22px(p0)，焦点F，直线l：x，所以A、B两点坐标为，所以AB2|p|.因为OAB的面积为4，所以2|p|4，所以p2.所以抛物线的标准方程为y24x.10.如图，过抛物线y2x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两
12、点，求证：直线BC的斜率是定值证明：设kABk(k0)，因为直线AB，AC的倾斜角互补，所以kACk(k0)，因为直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.因为A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解所以4xB，即xB，以k代换xB中的k，得xC，所以kBC，所以直线BC的斜率为定值B能力提升1以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知AB4，DE2，则C的焦点到准线的距离为_解析：由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由AB4，DE2，可取A，D，设O为坐标原点，由OAOD，得85，得p4.
13、答案：42已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为_ 解析：如图所示，由题意，可得OF1，由抛物线的定义，得AFAM，因为AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，所以3.所以AFAM3OF3.设A，所以13，所以2，解得y02.所以点A的坐标是(2，2)答案：(2，2)3已知定点F(2，0)和定直线l：x2，动圆P过定点F与定直线l相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程； (2)若以M(2，3)为圆心的圆与曲线C交于两个不同的点A、B，且线段AB是此圆
14、的直径时，求直线AB的方程解：(1)由题意知，点P到F的距离等于P到l的距离，所以P的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，它的方程为y28x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y8x1，y8x2，所以.由AB为圆M(2，3)的直径知，y2y16，故直线的斜率为.所以直线AB的方程为y3(x2)，即4x3y10.4(选做题)如图，已知抛物线y24x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.(1)求y1y2的值；(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值解：(1)依题意，设AB的方程为xmy2，代入y24x，得y24my80，从而y1y28.(2)证明：连结MN，设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为xny1，代入y24x消x得：y24ny40，所以y1y34，同理y2y44，由(1)y1y28，所以2为定值
