1、第三部分 增分篇 策略一 活用4大数学思想1函数与方程思想函数思想方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.应用 1 目标函数法求最值【典例 1】(1)在平面直角坐标系中，已知点 A(1,
2、0)，B(2,0)，E，F 是 y 轴上的两个动点，且|EF|2，则AEBF的最小值为_(2)已知斜率为 1 的直线 l 与椭圆x24y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为_(1)3(2)4 105(1)E，F 是 y 轴上的两个动点，且|EF|2，不妨设 E(0，t)，F(0，t2)，则AE(0，t)(1,0)(1，t)BF(0，t2)(2,0)(2，t2)，AEBFt22t2.令 f(t)AEBF(t1)233，当且仅当 t1 时取等号即AEBF的最小值为3.(2)设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为yxt，由x24y24，yxt消去
3、y，得 5x28tx4(t21)0.则 x1x285t，x1x24t215，|AB|2|x1x2|2x1x224x1x2 285t244t215 4 255t2，当 t0 时，|AB|max4 105.目标函数法即是把所谓目标写成函数形式，然后再求其值域、最值的方法.1有关长度、面积、体积以及数量积等的计算经常采用目标函数法.2求值域、最值的方法，一般涉及换元法、配方法和均值不等式法以及单调性法.【对点训练 1】已知在半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB120，C 是 OB 的中点，P 为弧 AB 上任意一点，且OP OA OC，则 的最大值为_2 213 建立如图所示的平面直角坐标系，则O
4、(0,0)，A(2,0)，C12，32，则OA(2,0)，OC 12，32，设 P(2cos，2sin)，则(2,0)12，32(2cos，2sin)，即2122cos，32 2sin，解得 43sin，cos 13sin，则 53sin cos 2 213sin()，其中 tan 35，据此可知，当 sin()1 时，取得最大值2 213.【对点训练 2】一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2 的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为_2 3 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 为正三棱柱AB2，三角形ADE 为直角三角形，ADE90.设 BDx，CEy，则 AD24x2，AE2
5、4y2，ED24(yx)2.AE2AD2DE2，4y24x24(yx)2，解得 yx2x.AE24y24x2x24(2 2)212.AE2 3，当且仅当 x 2时取等号 即直角三角形斜边的最小值为 2 3.应用 2 分离参数法求参数范围【典例 2】(1)若方程 cos2xsin xa0 在0，2 上有解，则实数 a 的取值范围为_(2)已知函数 f(x)x 1x1，g(x)x22ax4，若任意 x10,1，存在 x21,2，使 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围是_(1)(1,1(2)94，(1)由 cos2xsin xa0，得 asin2xsin x1.问题变成求函数 asin2x
6、sin x1 在 x0，2 上的值域问题 asin x12254，而 0sin x1，10.f(x)在0,1上单调递增 f(x)minf(0)1，存在 x21,2使1x22ax4，即2ax5x在1,2上有解，2ax5x min，易知 yx5x在(0，5上递减，yx5x在1,2上递减x5x min25292，2a92，a94，a 的取值范围为94，.1在求参数的取值范围时，应该先建立关于参数的等式或不等式，然后利用函数的定义域、值域或解不等式求解.在对式子变形的过程中，应优先选择分离参数的方法.2对于方程有解、不等式的恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化成求函数的
7、值域或最值.不等式有解、恒成立求参数的方法：gafx恒成立，则gafxmax.gafx恒成立，则 gafx有解，则 gafxmin，gafx有解，则 gafxmax.3分离参数法是求参数范围的常用方法，但应明确，不是万能方法，恰当又合理的参变分离有助于问题的解决，有时需要讨论！2，)当 x0 时，不等式 x2a|x|10 恒成立，此时aR，当 x0 时，则有 a1|x|2|x|x|1|x|，设 f(x)|x|1|x|，则 af(x)max，由基本不等式得|x|1|x|2(当且仅当|x|1 时取等号)，则f(x)max2，故 a2.【对点训练 3】对一切实数 x，不等式 x2a|x|10 恒成立
8、，则实数 a 的取值范围是_【对点训练 4】已知函数 f(x)lg12x4xaa2a1，其中 a 为常数，若当 x(，1时，f(x)有意义，则实数 a 的取值范围为_34，参数 a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于 a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把 a 分离出来，重新认识 a 与其他变元 x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”由12x4xaa2a1 0，且 a2a1a122340，得 12x4xa0，故 a14x12x.当 x(，1时，y14x与 y12x都是减函数，因此，函数 y14x12x 在(，1上是增函数，所以14x12x
9、max34，a34，故 a 的取值范围是34，.应用 3 构造函数解不等式、比较大小【典例 3】(1)已知函数 f(x)满足 f(x)f(x)，在下列不等式关系中，一定成立的是()Aef(1)f(2)Bef(1)f(2)Cf(1)ef(2)Df(1)ef(2)(2)已知偶函数 f(x)(x0)的导函数为 f(x)，且满足 f(1)0，当 x0 时，xf(x)2f(x)，则使 f(x)0 成立的 x 的取值范围为()A(，1)(0,1)B(1,0)(0,1)C(1,0)(1，)D(，1)(1，)(1)A(2)B(1)f(x)f(x)，f(x)f(x)0.令 g(x)fxex，则 g(x)fxfx
10、ex0，g(x)单调递减，又 12.g(1)g(2)，即f1e1 f2e2，ef(1)f(2)选 A.(2)令 F(x)x2f(x)，则 F(x)2xf(x)x2f(x)x2f(x)xf(x)当 x0 时，由题设可得 F(x)0，即函数 F(x)x2f(x)是单调递减函数，当 x0 时，函数 F(x)x2f(x)是单调递增函数又由题设可知 F(1)F(1)0，所以不等式 F(x)0 的解集是(1,0)(0,1)，则不等式 f(x)0 的解集是(1,0)(0,1)故选 B.1根据式子结构构造指数函数、对数函数或幂函数.2根据式子的结构构造相应函数：xmfxxm1mfxxfx；fxx xfxfxx
11、2；exfxexfxfx；fxex fxfxex；xln xln x1.【对点训练 5】若 0 x1x21，则()Aex2ex1ln x2ln x1 Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex2C 设 f(x)exln x(0 x1)，则 f(x)ex1xxex1x.令 f(x)0，得 xex10.根据函数 yex 与 y1x的图象可知两函数图象的交点 x0(0,1)，因此函数 f(x)在(0,1)上不是单调函数，故 A、B 选项不正确 设 g(x)exx(0 x1)，则 g(x)exx1x2.又 0 x1，g(x)0.函数 g(x)在(0,1)上是减函数 又
12、 0 x1x21，g(x1)g(x2)，x2ex1x1ex2，故选 C.【对点训练 6】定义域为 R 的可导函数 yf(x)的导函数为f(x)，满足 f(x)f(x)，且 f(0)1，则不等式fxex 1 的解集为()A(，0)B(0，)C(，2)D(2，)B 构造函数 g(x)fxex，则 g(x)exfxexfxex2fxfxex.由题意得 g(x)0 恒成立，所以函数 g(x)fxex 在 R 上单调递减又 g(0)f0e0 1，所以fxex 1，即 g(x)1，解得 x0，所以不等式的解集为(0，)故选 B.应用 4 利用方程思想求值【典例 4】(1)函数 f(x)xln x 在点 P
13、(x0，f(x0)处的切线与直线xy0 垂直，则切点 P(x0，f(x0)的坐标为_(2)(2018浙江高考)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 x，y，z，则xyz100，5x3y13z100，当 z81 时，x_，y_.(1)(1,0)(2)8 11(1)f(x)xln x，f(x)ln x1，由题意得 f(x0)(1)1，即 f(x0)1，ln x011，ln x00，x01，f(x0)0，即 P(1,0)(2)法一：由题意，得xy81100，5x3y1381
14、100，即xy19，5x3y73，解得x8，y11.法二：1008119(只)，81327(元)，1002773(元)假设剩余的 19 只鸡全是鸡翁，则 51995(元)因为 957322(元)，所以鸡母：22(53)11(只)，鸡翁：19118(只)方程思想无处不在，只要涉及含有等量关系的条件或结论时，均可考虑到通过列方程或方程组求解.【对点训练 7】(2019北京高考)设an是等差数列，a110，且 a210，a38，a46 成等比数列(1)求an的通项公式；(2)记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最小值解(1)an是等差数列，a110，且 a210，a38，a46成等比数列(a3
15、8)2(a210)(a46)，(22d)2d(43d)，解得 d2，ana1(n1)d102n22n12.(2)法一：由 a110，d2，得：Sn10nnn122n211nn11221214，n5 或 n6 时，Sn 取最小值30.法二：由(1)知，an2n12.所以，当 n7 时，an0；当 n6 时，an0.所以，Sn 的最小值为 S5S630.应用 5 方程思想与不等式【典例 5】关于 x 的一元二次不等式 x2axb0 的解集为(，3)(1，)，则不等式 ax2bx20 的解集为()A(3,1)B.，12(2，)C.12，2D(1,2)C 由关于 x 的一元二次不等式 x2axb0 的
16、解集为(，3)(1，)，可知方程 x2axb0 的两实数根分别为3,1，则 a31，b31，解得a2，b3，所以不等式 ax2bx20 可化为 2x23x20，即(2x1)(x2)0，解得12x2，即所求不等式的解集为12，2.方程的根是对应不等式解集区间的端点值，所以不等式与方程是紧密联系的！【对点训练 8】已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_9 由题意知 f(x)x2axbxa22ba24.因为 f(x)的值域为0，)，所以 ba24 0，即 ba24.所以 f(x)xa22.又 f(x)c，所以xa22c，即a2 cxa2 c.所以a2 cm，a2 cm6.得 2 c6，所以 c9.Thank you for watching!
