1、第二部分 讲练篇 专题七 选考4系列第1讲 选修44 坐标系与参数方程自 主 练 考 点 整 合 做小题激活思维1在伸缩变换x2x，y3y下，x2y21 对应的图形是_答案 椭圆2若直线的极坐标方程为 sin4 22，则点 A2，74 到这条直线的距离是_答案 223已知曲线的参数方程为x3t，y2t21(t 为参数)，若点(6，a)在该曲线上，则 a_.答案 94若点 M 在椭圆x29y241 上，则点 M 到直线 x2y100 的距离的最小值为_答案 5扣要点查缺补漏1曲线的极坐标方程(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tan yx(
2、x0)，要注意，的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解如 T2.2(1)过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)，t 的几何意义是P0P 的数量，即|t|表示P0 到 P 的距离，t 有正负之分使用该式时直线上任意两点 P1，P2对应的参数分别为 t1，t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2 的中点对应的参数为12(t1t2)(2)参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入
3、消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对 x，y 的限制如 T3.(3)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解如 T4.研 考 题 举 题 固 法 极坐标与曲线的极坐标方程(5 年 4 考)高考解读 极坐标方程是每年高考的必考内容，既有单独考查也与参数方程综合考查，难度不大，考查考生的逻辑推理和数学运算的核心素养.(2019全国卷)如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0)，B2，4，C2，34，D(2，)，弧AB，BC，CD 所在圆的圆心分
4、别是(1,0)，1，2，(1，)，曲线 M1 是弧AB，曲线 M2 是弧BC，曲线 M3 是弧CD.(1)分别写出 M1，M2，M3 的极坐标方程；(2)曲线 M 由 M1，M2，M3 构成，若点 P在 M 上，且|OP|3，求 P 的极坐标切入点：A，B，C，D 的极坐标及AB，BC，CD 所在圆的圆心 关键点：确定 M1，M2，M3 的方程 解(1)由题设可得，弧AB，BC，CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos，2sin，2cos.所以 M1 的极坐标方程为 2cos 04，M2 的极坐标方程为 2sin 434，M3 的极坐标方程为 2cos 34 .(2)设 P(，)，由题设及(1
5、)知 若 04，则 2cos 3，解得 6；若434，则 2sin 3，解得 3或 23；若34，则2cos 3，解得 56.综上，P 的极坐标为3，6 或3，3 或3，23 或3，56.教师备选题(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为2，3，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值解(1)设点 P 的极坐标为(，)(0)，点 M 的极坐标为
6、(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1 4cos.由|OM|OP|16 得 C2 的极坐标方程 4cos(0)因此 C2 的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB 的面积S12|OA|BsinAOB4cos sin32sin23 32 2 3.当 12时，S 取得最大值 2 3.所以OAB 面积的最大值为 2 3.1求曲线的极坐标方程的一般思路求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互化公式既可转化为极坐标方程，熟练掌握互化公式是解决问题的关键 2解决极坐标问题的
7、一般思路 一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标1(极径的应用)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1：x0，圆 C：(x1)2(y1 2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 l1 和圆 C 的极坐标方程；(2)若直线 l2 的极坐标方程为 4(R)，设 l1，l2 与圆 C 的公共点分别为 A，B，求OAB 的面积解(1)xcos，ysin，x2y22，直线 l1 的极坐标方程为 cos 0，即 2(R)，圆 C 的极坐标方程为 22cos 2(1 2)sin 32 20.(2
8、)将 2代入 22cos 2(1 2)sin 32 20，得 22(1 2)32 20，解得 11 2.将 4代入 22cos 2(1 2)sin 32 20，得 22(1 2)32 20，解得 21 2.故OAB 的面积为12(1 2)2sin 413 24.2(极角的应用)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为(x2)2y24，直线 l 的方程为 x 3y120，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)分别写出曲线 C 与直线 l 的极坐标方程；(2)在极坐标系中，极角为 0，2 的射线 m 与曲线 C、直线l 分别交于 A，B 两点(A 异于极点 O)，求|OA
9、|OB|的最大值解(1)由 xcos，ysin，得曲线 C 的极坐标方程为 4cos，直线 l 的极坐标方程为 cos 3sin 120.(2)由题意得|OA|4cos，因为 cos 3sin 120，所以|OB|12cos 3sin，所以|OA|OB|cos cos 3sin 31613sin26，因为 0，2，所以 266，76，所以 sin2612，1，所以|OA|OB|的最大值为12，此时 6.参数方程及其应用(5 年 3 考)高考解读 参数方程是每年高考的必考内容，既有单独考查，也与极坐标综合考查，难度适中，主要考查参数方程与普通方程的互化以及逻辑推理和数学运算核心素养.(2018全
10、国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2cos，y4sin(为参数)，直线 l 的参数方程为x1tcos，y2tsin(t 为参数)(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率切入点：参数方程化普通方程 关键点：正确用参数方程表示弦的中点的坐标 解(1)曲线 C 的直角坐标方程为x24y2161.当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 ytan x2tan，当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2c
11、os sin)t80.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t20.又由得 t1t242cos sin 13cos2，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2.教师备选题(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 xcos，ysin(为参数)，过点(0，2)且倾斜角为 的直线 l 与O交于 A，B 两点(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程解(1)O 的直角坐标方程为 x2y21.当 2时，l 与O 交于两点 当 2时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx 2
12、.l 与O 交于两点当且仅当21k21，解得 k1，即 4，2或 2，34.综上，的取值范围是4，34.(2)l 的参数方程为xtcos，y 2tsin t 为参数，434.设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则 tPtAtB2，且 tA，tB 满足 t22 2tsin 10.于是 tAtB2 2sin，tP 2sin.又点 P 的坐标(x，y)满足xtPcos，y 2tPsin.所以点 P 的轨迹的参数方程是 x 22 sin 2，y 22 22 cos 2 为参数，434.参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用 1将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参
13、方法有代入消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.2在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.1(椭圆的参数方程)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x3cos，ysin(为参数)，直线 l 的参数方程为xa4t，y1t(t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.解(1)曲线 C 的普通方程为x29y21.当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30.由x4
14、y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425.从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，2125，2425.(2)直线 l 的普通方程为 x4ya40，故 C 上的点(3cos，sin)到 l 的距离为 d|3cos 4sin a4|17.当 a4 时，d 的最大值为a917，由题设得a917 17，所以 a8；当 a0)在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos.(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求
15、a.解(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2(y1)2a2，则 C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆 将 xcos，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin 1a20.(2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组 22sin 1a20，4cos.若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a20，由已知 tan 2，可得 16cos28sin cos 0，从而 1a20，解得 a1(舍去)或 a1.当 a1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，且在 C3 上 所以 a1.解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法 1对于参数方程或极
16、坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路可能更加清晰.2对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简洁.3利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件.1(参数几何意义的应用)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l的参数方程为x12ty 32 t1(t 为参数)在以坐标原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程是 2 2sin4.(1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；(2)设点 P(0，1)，若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值
17、解(1)将直线 l 的参数方程消去参数 t 并化简，得直线 l 的普通方程为 3xy10.曲线 C 的极坐标方程可化为 22 222 sin 22 cos ，即 22sin 2cos，x2y22y2x，故曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)将直线 l 的参数方程代入(x1)2(y1)22 中，得12t1 232 t2 22，化简，得 t2(12 3)t30.0，此方程的两根为直线 l 与曲线 C 的交点 A，B 对应的参数 t1，t2.由根与系数的关系，得 t1t22 31，t1t23，故 t1，t2 同正 由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|PB|t1|t2|t1
18、t22 31.2(弦长及距离问题)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 xtcos ytsin(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 的极坐标方程为 4cos 2sin.(1)求 C1 的极坐标方程与 C2 的直角坐标方程；(2)设点 P 的极坐标为2 2，74，4，C1 与 C2 相交于 A，B 两点，求PAB 的面积解(1)曲线 C1 表示过原点，且倾斜角为 的直线，从而其极坐标方程为，R.由 4cos 2sin 得 24cos 2sin，得 x2y24x2y，即曲线 C2 的直角坐标方程为(x2)2(y1)25.(2)由(1)知曲线 C1 为 4，R，将 4代入曲线 C2 的极坐标方程 4cos 2sin 得 3 2，故|AB|3 2.因为点 P 的极坐标为2 2，74，所以点 P 到直线 AB 的距离为2 2.所以 SPAB123 22 26.Thank you for watching!
