1、专题检测（三） 不等式与合情推理一、选择题1(2019石家庄市质量检测)已知a0b，则下列不等式一定成立的是()Aa2abB|a|Dab解析：选C法一：当a1，b1时，满足a0b，此时a2ab，|a|b|，a0b，ba0，ab0，一定成立故选C.法二：a0b，0，一定成立故选C.2已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，则ab()A1B0C1D3解析：选D由题意得，不等式x22x30的解集A(1，3)，不等式x2x60的解集B(3,2)，所以AB(1,2)，即不等式x2axb0的解集为(1,2)，所以a1，b2，所以ab3.故选D.3已知a
2、R，不等式1的解集为p，且2p，则a的取值范围为()A(3，)B(3,2)C(，2)(3，)D(，3)2，)解析：选D2p，1或2a0，解得a2或a0，b0，abab，则ab的最小值为()A2B4C6D8解析：选B法一：由于abab，因此ab4或ab0(舍去)，当且仅当ab2时取等号故选B.法二：由题意，得1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时取等号故选B.法三：由题意知a(b1)，所以abb2b1224，当且仅当ab2时取等号故选B.7已知函数f(x)若不等式f(x)10在R上恒成立，则实数a的取值范围为()A(，0)B2,2C(，2D0,2解析：选C由f(x)1在R上恒成立，可得当
3、x0时，2x11，即2x0，显然成立；又x0时，x2ax1，即为ax，由x2 2，当且仅当x1时，取得最小值2，可得a2，综上可得实数a的取值范围为(，2故选C.8(2019赤峰模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“我不应负主要责任”四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是()A甲B乙C丙D丁解析：选A假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；假定乙说的是真话，则丁说“我不应负主要责任”也为真话，
4、这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；假定丙说的是真话，则甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话综上可得，丁说的是真话，甲、乙、丙三人说的均为假话，即乙、丙、丁不应负主要责任，甲负主要责任故选A.9(2019江西八所重点中学联考)已知实数x，y满足，则z的最小值是()AB2CD2解析：选C作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示目标函数z1，其中表示点P(1，3)和点(x，y)的连线的斜率结合图象得目标函数z1在点A处取得最小值，由得即A(3，2)，所以目标函数z的最小值为1.故选C.10(2019大庆模拟)从1开始
5、的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A2 097B2 112C2 012D2 090解析：选C当三角形在移动时，观察其规律，如果设三角形内部第一行的数为aZ*，则第二行的数为a7，a8，a9，其和为3(a8)，第三行的数为a14，a15，a16，a17，a18，其和为5(a16)，所以这九个数的和为Sa3(a8)5(a16)9a104，代入到各个选项中看能否算出a即可通过计算可得9a1042 012时，a212.由图示规律知212位于第27行第4列，符合题意故选C.11某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两
6、种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15万元B16万元C17万元D18万元解析：选D设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知z3x4y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z3x4y过点M时取得最大值，由解得M(2,3)，故z3x4y过点M(2,3)时取最大值，最大值zmax324318.故选D.12若两个正实数x，y满足1，且不等式xn20有解，则实数n的取值范围是()A.B(1，)C(1，)D解析：选B因为不
7、等式xn20有解，所以minn2，因为x0，y0，且1，所以x2 ，当且仅当，即x，y5时取等号，所以min，故n20，解得n或n1，所以实数n的取值范围是(1，)故选B.二、填空题13不等式1的解集为_解析：不等式1可转化成10，即0，等价于解得x2，故不等式的解集为.答案：14若x，y满足约束条件则zx3y的最小值是_，最大值是_解析：由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4，2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)由线性规划的知识可知，目标函数zx3y在点(2,2)处取得最大值，在点(4，2)处取得最小值，则最小值zmin462，最大值zmax268.答案：281
8、5(2019洛阳市统考)已知x0，y0，且1，则xyxy的最小值为_解析：1，2xyxy，xyxy3x2y，3x2y(3x2y)7，且x0，y0，3x2y74，xyxy的最小值为74.答案：7416(2019北京高考改编)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y就是其中之一(如图)给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是_解析：由x2y21|x|y，当x0时，y1；当y0时，x1；当y1时，x0，1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)，D(1,1)，E(1,0)，F(1,1)，所以正确由基本不等式，当y0时，x2y21|x|y1|xy|1，所以x2y22，所以 ，故正确如图，由知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故错误答案：
