1、93空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()答案：D2下列命题中，正确的个数是()如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同平行于第三直线，那么这两条直线互相平行；过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行A1B2C3 D4解析：可能相等，也可能互补；在空间中不成立，所以正确，故选C.答案：C3已知a、b、c、d是空间四条直线，
2、如果ac，bc，ad，bd，那么()Aab且cdBa、b、c、d中任意两条可能都不平行Cab或cdDa、b、c、d中至多有一对直线互相平行解析：若a与b不平行，则存在平面，使得a且b，由ac，bc，知c，同理d，所以cd.若ab，则c与d可能平行，也可能不平行结合各选项知选C.答案：C4如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行其中真命题是()A BC D解析：由于
3、两相交直线可确定一个平面，设l过M点，与AB，B1C1均相交，则l与AB可确定平面，l与B1C1可确定平面，又AB与B1C1为异面直线，l为平面与平面的交线，如图所示GE即为l，故正确由于DD1过点M，DD1AB，DD1B1C1，BB1为AB、B1C1的公垂线，DD1BB1，故正确显然正确过M点有无数个平面与AB，B1C1都相交，故错误答案：C5在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，PAACBC，则直线PC与AB所成角的大小是()A30 B45C60 D90解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则FDE是直线PC与AB所成角或其补角设PAACBC2a
4、，在FDE中，易求得FDa，DEa，FEa，根据余弦定理，得cosFDE，所以FDE120.所以PC与AB所成角的大小是60.答案：C6如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，则在平面BCC1B1内过点P且与直线AC成50角的直线有()条A0 B1C2 D无数解析：依题意，直线AC与平面BCC1B1所成的角为，因为直线与平面所成的角是这条直线与平面内的直线所成的角中最小的角，所以在平面BCC1B1内过点C有两条直线与直线AC成50角，所以在平面BCC1B1内过点P亦有两条直线与直线AC成50角，选择C.答案：C二、填空题7已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D
5、1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_解析：取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有EFB1C1BC，AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a，则有EF2a，AFa，AE3a.在AEF中，cosAEF.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是.答案：8如图所示，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对解析：还原如图，相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH,3对答案：39已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同
6、一条直线；一条直线及其外一点则在上面的结论中，正确结论的编号是_(写出所有正确结论的编号)解析：对应的情况如下：用反证法证明不可能答案：三、解答题10在空间四边形ABCD中，已知AD1，BC，且ADBC，对角线BD，AC，求AC和BD所成的角解析：如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理，知EFAC，且EF，GEBD，且GE.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角同理，GH，HF，GHAD，HFBC.又ADBC，GHF90，GF2GH2HF21.在EFG中，EG2EF21GF2，GEF90，即AC和BD所成
7、的角为90.11如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解析：(1)由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC.四边形BCHG为平行四边形(2)方法一，由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形EFBG.由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面方法二，如图，延长FE、DC分别与AB交于点M、M，BE綊AF，B为MA中点BC綊AD，B为MA中点M与M重合，即F
8、E与DC交于点M(M)C、D、F、E四点共面12已知正三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长都为2，E是A1B的中点，F在棱CC1上(1)当C1FCF时，求多面体ABCFA1的体积；(2)当点F使得A1FBF为最小时，求异面直线AE与A1F所成的角解析：(1)C1FCF，ACCC12，CF，S梯形AA1FC.由正三棱柱知ABC的高为且等于四棱锥BA1ACF的高VBA1ACF，即多面体ABCFA1的体积为.(2)将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连接A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1FBF为最小此时FC平行且等于A1A的一半，F为C1C的中点过E作EGA1F交BF于G，则AEG就是AE与A1F所成的角或所成角的补角过G作GHBC，交BC于H，连接AH，则GHFC.又AH，于是在RtAGH中，AG.在RtABA1中，AE.AEG中，cosAEG0，AEG90.故异面直线AE与A1F所成的角为90.
