1、课时规范练63离散型随机变量的均值与方差基础巩固组1.(2020安徽师大附中高三月考)已知随机变量服从正态分布N(1,2),则D(2+3)=()A.4B.6C.8D.112.设随机变量X的分布列如下:X0123P0.10.30.4则方差DX=()A.0B.1C.2D.33.已知随机变量X满足E(1-X)=5,D(1-X)=5,则下列说法正确的是()A.EX=-5,DX=5B.EX=-4,DX=-4C.EX=-5,DX=-5D.EX=-4,DX=54.某地区一模考试数学成绩X服从正态分布N(90,2),且P(X74,则p的取值范围是()A.0,712B.712,1C.0,12D.12,16.已知
2、5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1 000元,则所需检测费的均值为()A.3 200B.3 400C.3 500D.3 6007.(2020山东德州高三期末)随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,DX=0.4,则EX=.8.已知随机变量X的分布列为X012Pa2ab(a0,b0),当DX最大时,EX=.9.(2020浙江学军中学高三月考)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若EX=3,DX=2,则p=,P(X=1)=.10.某投资公司在2020年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目
3、一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29;项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.综合提升组11.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为64个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值EX=()A.4532B.54C.32D.212.(2020江苏徐州高三调研)某计算机程序每运行一次都随机出
4、现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23,记X=a2+a3+a4+a5,则下列说法错误的是()A.X服从二项分布B.P(X=1)=881C.X的期望EX=83D.X的方差DX=8313.一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为1,则E1=;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为2,则E2=.14.甲将要参加某决赛,赛前A,B,C,D四位同学对冠军得主
5、进行竞猜,每人选择一名选手,已知A,B选择甲的概率均为m,C,D选择甲的概率均为n(mn),且四人同时选择甲的概率为481,四人均未选择甲的概率为481.(1)求m,n的值;(2)设四位同学中选择甲的人数为X,求X的分布列和数学期望.15.(2020山东莱州一中高三月考)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,根据水果的等级分类标准得到的数据如下:等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率.(结果用分数表示)(2)用样本估计总体
6、,果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案1:不分类卖出,单价为20元/kg.方案2:分类卖出,分类后的水果售价如下:等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg)16182224从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案?(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X表示抽取的是精品果的数量,求X的分布列及数学期望EX.创新应用组16.(2020海南三亚高三检测)一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为2,则下列式子正确的
7、是()A.E1E2,D1D2C.E1=E2,D1E2,D1D217.甲、乙两人进行乒乓球赛,采用三局两胜的比赛规则,规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),且每一局甲赢的概率都是p,随机变量X表示最终的比赛局数,若0p218C.DX14D.DX208118.某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)
8、的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?19.(2020河北保定高三检测)某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务(货物全部用统一规格的包装箱包装),现统计了最近100天内每天可配送的货物量,按照可配送货物量T(单位:箱)分成了以下几组:40,50),50,60),60,70),70,8
9、0),80,90),90,100,并绘制了如图所示的频率分布直方图(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,将频率视为概率).(1)该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因,并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析,求这3天的数据中至少有2天的数据来自50,60)这一组的概率.(2)由频率分布直方图可以认为,该物流公司每日的可配送货物量T(单位:箱)服从正态分布N(,14.42),其中近似为样本平均数.试利用该正态分布,估计该物流公司2 000天中日货物配送量在区间(54.1,97.3内的天数.该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为
10、公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案.方案一:直接发放奖金,按每日的可配送货物量划分为以下三级:T60时,奖励50元;60T80,奖励80元;T80时,奖励120元.方案二:利用抽奖的方式获得奖金,其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会,每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会,每次抽奖的奖金及对应的概率分别为奖金50100概率4515小张为该公司装卸货物的一名员工,试从数学期望的角度分析,小张选择哪种奖励方案对他更有利?附:若ZN(,2),则P(-Z+)=0.683,P(-2Z74,解得p52或p0,1-3a0,即0a13.EX=2a+2(1-3a)=2-4a,DX=(4a-
11、2)2a+(4a-1)22a+(4a)2(1-3a)=-16a2+6a,故当a=316时,DX最大,此时EX=54.9.132562187因为随机变量X服从二项分布B(n,p),若EX=3,DX=2,则np=3,np(1-p)=2,解得p=13,n=9,即随机变量X服从二项分布B9,13.P(X=1)=C9113238=2562187.10.解若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为X1300-150P7929EX1=30079+(-150)29=200.若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为X2500-3000P3513115EX2=50035+(-300)13
12、+0115=200.DX1=(300-200)279+(-150-200)229=35000,DX2=(500-200)235+(-300-200)213+(0-200)2115=140000.EX1=EX2,DX1nm0,解得m=13,n=23.(2)X可能的取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=23231313=481,P(X=1)=C21131-131-232+1-132C21231-23=2081,P(X=2)=C21131-13C21231-23+1321-232+1-132232=3381=1127,P(X=3)=C21231-23232+132C21231-23=2081,P(
13、X=4)=13132323=481.X的分布列如下表X01234P481208111272081481EX=0484+12081+21127+32081+4481=2.15.解(1)设从100个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件为A,则P(A)=20100=15,现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X,则XB4,15.恰好抽到2个礼品果的概率为:P(X=2)=C42152452=96625.(2)设方案2的单价为,则单价的期望值为:E=16110+18310+22410+24210=20.6,E20,从采购商的角度考虑,应该采用第一种方案.(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取1
14、0个,则其中精品果4个,非精品果6个,现从中抽取3个,则精品果的数量X服从超几何分布,所有可能的取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C63C103=16;P(X=1)=C62C41C103=12;P(X=2)=C61C42C103=310;P(X=3)=C43C103=130.X的分布列如下:X0123P1612310130EX=016+112+2310+3130=65.16.B1可能的取值为0,1,2;2可能的取值为0,1,P(1=0)=49,P(1=2)=19,P(1=1)=1-49-19=49,故E1=23,D1=0-23249+1-23249+2-23219=49.P(2=0)=21
15、32=13,P(2=1)=21232=23,故E2=23,D2=0-23213+1-23223=29,故E1=E2,D1D2.故选B.17.D随机变量X可能的取值为2,3.P(X=2)=C22p2+C22(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3)=2p(1-p)p+2p(1-p)(1-p)=2p-2p2,故X的分布列为:X23P2p2-2p+12p-2p2故EX=2(2p2-2p+1)+3(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2p-122+52.因为0p13,故2EX229,而22952,229218,故A、B错误.而DX=(2p2-2p)2(2p2-2p+1)+(2p2-2p+1)2(2
16、p-2p2),令t=2p-2p2=-2p-122+12,因为0p1312,故0t49,此时DX=-t2+t0,2081,DX0;当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.19.解(1)前3组的数据一共有55个,分别为第一组5个,第二组20个,第三组30个,由分层抽样知识可知,这11天中前3组的数据分别有1个,4个,6个,所以至少有2天的数据来自50,60)这一组的概率为P=C42C71C113+C43C113=46165.(2)由题得=450.05+550.2+650.3+750.3+850.1+950.05=68.5,所以P(54.1T97.3)=P(68.5-14.4T68.5+28.8)=12(0.683+0.954)=0.8185.故2000天中日货物配送量在区间(54.1,97.3)内的天数为20000.8185=1637.易知P(TEX,所以从数学期望的角度看,小张选择方案二更有利.
