1、第二部分 讲练篇 专题一 三角函数和解三角形第2讲 三角恒等变换与解三角形自 主 练 考 点 整 合 B 因为 cos 23，为第四象限角，则 sin 53，故 cos4 22 cos 22 sin 22 23 532 2 106，故选 B.做小题激活思维1若 cos 23，为第四象限角，则 cos4 的值为()A.2 106 B.2 2 106C.2 106D.2 2 1062一题多解已知 为第二象限角，sin cos 33，则 cos 2()A 53B 59C.59D.53A 法一：sin cos 33，sin 223，又 为第二象限角且 sin cos 33 0，2k22k34(kZ)，
2、4k24k32(kZ)，2 为第三象限角，cos 21sin22 53.法二：sin cos 33，sin 223，为第二象限角，sin 0，cos 0，sin cos sin cos 212sin cos 1sin 2 153，由sin cos 33，sin cos 153，解得sin 3 156，cos 3 156，cos 22cos21 53.3在ABC 中，若 AB 3，A45，C75，则 BC 等于()A3 3B.2C2 D3 3答案 A4在ABC 中，若 AB5，AC3，BC7，则 sin A 等于()A 32B.32C12D.12答案 B5在钝角三角形 ABC 中，已知 AB 3
3、，AC1，B6，则ABC的面积为()A.14 B.32C.34 D.12答案 C扣要点查缺补漏1和差公式及辅助角公式(1)sin()sin cos cos sin.(2)cos()cos cos sin sin.如 T1.(3)tan()tan tan 1tan tan.(4)sin 22sin cos，cos 2cos2sin22cos2112sin2，tan 2 2tan 1tan2.如 T2.(5)辅助角公式：asin bcos a2b2sin()，其中 cos aa2b2，sin ba2b2.2正弦定理和余弦定理(1)asin A bsin Bcsin C2R.如 T3.(2)a2b2
4、c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C，cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.如 T4.3三角形的面积公式(1)S12aha12bhb12chc(ha，hb，hc 分别表示 a，b，c 边上的高)(2)S12absin C12bcsin A12casin B如 T5.(3)S12r(abc)(r 为ABC 内切圆的半径)研 考 题 举 题 固 法 三角恒等变换(5 年 5 考)高考解读 三角恒等变换是三角变换的工具，在高考中主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值.可单
5、独考查，也可以与三角函数的性质综合考查.D tan 255 tan(180 75)tan 75 tan(45 30)tan 45tan 301tan 45tan 301 331 332 3.故选 D.1(2019全国卷)tan 255()A2 3 B2 3C2 3D2 32(2019全国卷)已知 0，2，2sin 2cos 21，则 sin()A.15B.55C.33D.2 55切入点：2sin 2cos 21 关键点：正确应用倍角公式及平方关系，注意 的范围 B 由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 2cos2.0，2，2sin cos.又sin2cos21，sin215.又
6、0，2，sin 55.故选 B.3一题多解(2018全国卷)已知 tan54 15，则 tan _.切入点：tan 54 15；两角差的正切公式 关键点：解关于 tan 的方程 32 法一：因为 tan 54 15，所以tan tan 541tan tan 5415，即tan 11tan 15，解得 tan 32.法二：因为 tan54 15，所以 tan tan54 54 tan54 tan 541tan54 tan 54151115132.4(2017全国卷)已知 0，2，tan 2，则 cos4 _.切入点：tan sin cos；两角差的余弦公式 关键点：利用同角三角函数基本关系式，求
7、出 sin 和 cos 的值 3 1010 因为 0，2，且 tan sin cos 2，所以 sin 2cos，又 sin2cos21，所以 sin 2 55，cos 55，则 cos4 cos cos 4sin sin 4 55 22 2 55 22 3 1010.教师备选题1(2016全国卷)已知 是第四象限角，且 sin4 35，则tan4 _.43 将 4转化为4 2.由题意知 sin4 35，是第四象限角，所以 cos4 0，所以 cos4 1sin24 45.tan4 tan42 1tan4 cos4sin4453543.2(2018江苏高考)已知，为锐角，tan 43，cos(
8、)55.(1)求 cos 2 的值；(2)求 tan()的值解(1)因为 tan 43，tan sin cos，所以 sin 43cos.因为 sin2cos21，所以 cos2 925，所以 cos 22cos21 725.(2)因为，为锐角，所以(0，)又因为 cos()55，所以 sin()1cos22 55，因此 tan()2.因为 tan 43，所以 tan 2 2tan 1tan2247.因此 tan()tan2()tan 2tan1tan 2tan 211.1三角函数式的化简要遵循的“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正
9、确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”2求值的基本类型(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角求解；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，再求角的范围，确定角的度数D 原式2
10、sin 47sin 17cos 30cos 17 2sin1730sin 17cos 30cos 172sin 301.故选 D.1(给角求值)2sin 47 3sin 17cos 17()A 3 B1 C.3 D1B cos xcosx3 cos xcos xcos 3sin xsin 332cos x 32sin x 332 cos x12sin x 3cosx6 3 33 1，故选 B.2(给值求值)已知 cosx6 33，则 cos xcosx3()A1 B1 C.2 33 D.33(给值求角)若 sin 2 55，sin()1010，且 4，32，则 的值是()A.74B.94C.5
11、4 或74D.54 或94A 因为 4，所以 22，2，又 sin 2 55，所以22，4，2，所以 cos 22 55.又，32，所以 2，54，故 cos()3 1010，所以 cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()2 55 3 1010 55 1010 22，又 54，2，故 74，故选 A.利用正、余弦定理解三角形(5 年 12 考)高考解读 高考对该部分内容的考查重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，且常和三角恒等变换相结合，考查形式为边、角、面积的计算.角度一：三角形的边、角计算1(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
12、c，已知 asin Absin B4csin C，cos A14，则bc()A6 B5 C4 D3切入点：由 asin Absin B4csin C，利用正弦定理得出 a，b，c的关系 关键点：利用 cos A14得出 b，c 的关系 A asin Absin B4csin C，由正弦定理得 a2b24c2，即 a24c2b2.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bcb2c24c2b22bc3c22bc 14，bc6.故选 A.2(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c 2，则 C()A.12 B.
13、6 C.4 D.3切入点：化简 sin Bsin A(sin Ccos C)0.关键点：正确运用公式，由条件 sin Bsin A(sin Ccos C)，求得 A 的某一三角函数值，进而求 A，再求 C.B 因为 a2，c 2，所以由正弦定理可知，2sin A2sin C，故 sin A 2sin C.又 B(AC)，故 sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos C sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C 0.又 C 为ABC 的内角，故 sin C0，则 sin
14、 Acos A0，即 tan A1.又 A(0，)，所以 A34.从而 sin C 12sin A 22 22 12.由 A34 知 C 为锐角，故 C6.故选 B.角度二：三角形的面积、周长的计算3(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 的面积为a2b2c24，则 C()A.2 B.3 C.4 D.6切入点：SABCa2b2c24；SABC12absin C.关键点：利用上述求 C 的一个三角函数值 C 因为 SABC12absin C，所以a2b2c2412absin C由余弦定理 a2b2c22abcos C，得 2abcos C2absin C
15、，即 cos Csin C，所以 tan C1.又因为 C(0，)，所以在ABC 中，C4.故选 C.4(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC 的面积为_切入点：利用正弦定理化简 bsin Ccsin B4asin Bsin C，求得 sin A；利用余弦定理及 b2c2a28 求ABC 的面积 关键点：正确利用正弦定理将“边”转化为“角”，求出 sin A是解决本题的关键 2 33 由 bsin Ccsin B4asin Bsin C，得 sin Bsin Csin Csin B
16、4sin Asin Bsin C，因为 sin Bsin C0，所以 sin A12.因为 b2c2a28，cos Ab2c2a22bc，所以 bc8 33，所以 SABC12bcsin A128 33 122 33.5(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为a23sin A.(1)求 sin Bsin C；(2)若 6cos Bcos C1，a3，求ABC 的周长切入点：SABCa23sin A12acsin B，然后把边转化为角可求 sin Bsin C.利用中的结论和 6cos Bcos C1 求 BC，进而求出 A，然后利用三角形的面
17、积公式和 a 的值求 bc 的值，最后利用余弦定理求bc.关键点：正确利用 SABCa23sin A，求 sin Bsin C 以及利用 6cos Bcos C1 建立边 b 和 c 的关系式 解(1)由题设得12acsin Ba23sin A，即12csin Ba3sin A.由正弦定理得12sin Csin B sin A3sin A.故 sin Bsin C23.(2)由题设及(1)得 cos Bcos Csin Bsin C12，即 cos(BC)12.所以 BC23，故 A3.由题设得12bcsin Aa23sin A，a3，所以 bc8.由余弦定理得 b2c2bc9，即(bc)23
18、bc9.由 bc8，得 bc 33.故ABC 的周长为 3 33.75 如图，由正弦定理，得3sin 606sin B，sin B 22.又cb，B45，A180604575.教师备选题1(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C60，b 6，c3，则 A_.3 法一：由 2bcos Bacos Cccos A 及正弦定理，得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Bsin(AC)又 ABC，ACB.2sin Bcos Bsin(B)sin B.又 sin B0，cos B12.B3.2一题多解(2017全国卷
19、)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A，则 B_.法二：在ABC 中，acos Cccos Ab，条件等式变为 2bcos Bb，cos B12.又 0B，B3.2113 在ABC 中，cos A45，cos C 513，sin A35，sin C1213，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C35 5134512136365.又 asin A bsin B，basin Bsin A 16365352113.3(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A45，cos
20、C 513，a1，则 b_.1正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理 2三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式 S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化1(求边)一题多解ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 5，c2，cos A23，则 b()A.2 B.3 C2 D3D 法一：(应用余弦定理)由余弦定理得 522b222bc
21、os A，cos A23，3b28b30，b3b13舍去.故选 D.法二：(应用正弦定理)由 cos A23得 sin A 53，根据 asin Acsin C得 sin C23，所以 A 与 C 互余，故ABC 为直角三角形，因此 ba2c23.2(求角)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bacos C 33 sin C，a2，c2 63，则 C()A.34 B.3 C.6 D.4D 由 bacos C 33 sin C，得 sin Bsin Acos C 33 sin C.因为 sin Bsin(AC)sin(AC)，所以 sin Acos Ccos Asin C
22、sin Acos C 33 sin Asin C(sin C0)，cos A 33 sin A，所以 tan A 3因为 0A，所以 A3.由正弦定理 asin Acsin C，得 sin C 22.因为 0C23，所以 C4.故选 D.3(求周长)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 4 3，且 2bcos Aa2c，ac8，则其周长为()A10 B12 C8 3D82 3B 因为ABC 的面积为 4 3，所以12acsin B4 3.因为 2bcos Aa2c，所以由正弦定理得 2sin Bcos Asin A2sin C，又 ABC，所以 2sin
23、Bcos Asin A2sin Acos B2cos Asin B，所以 sin A2cos Bsin A因为 sin A0，所以 cos B12.因为 0B，所以 B3，所以 ac16，又 ac8，所以 ac4，所以ABC 为正三角形，所以ABC 的周长为 3412.故选 B.4(综合应用)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 32 accos B，且 sin A3sin C.(1)求角 B 的大小；(2)若 c2，AC 的中点为 D，求 BD 的长解(1)SABC12acsin B 32 accos B，tan B 3.又 0B，B3.(2)sin
24、A3sin C，由正弦定理得，a3c，a6.由余弦定理得，b26222226cos 6028，b2 7.cos Ab2c2a22bc2 722262222 7 714.D 是 AC 的中点，AD 7.BD2 AB2 AD2 2ABADcos A 22 (7)2 227 714 13.BD 13.解三角形的综合问题(5 年 3 考)高考解读 高考对该内容的考查主要有 2 种方式 1以平面几何知识为载体，考查正、余弦定理及面积公式的应用，解决此类问题多需要添加辅助线转化.2同三角函数或基本不等式相结合，考查最值或范围问题，难度偏大，但文科考查频率较小.角度一：与平面几何的综合问题(2018全国卷)
25、在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cosADB；(2)若 DC2 2，求 BC.切入点：四边形 ABCD 的已知边和角 关键点：利用正弦定理求ADB 的正弦值，然后求余弦值；利用余弦定理求边长 解(1)在ABD 中，由正弦定理得 BDsinAABsinADB.由题设知，5sin 452sinADB，所以 sinADB 25.由题设知，ADB90，所以 cosADB1 225 235.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB 25.在BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22BDDCcosBDC 258252 2 25 25.所以 BC5.角度
26、二：最值或范围问题(2014全国卷)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_切入点：化简等式(2b)(sin Asin B)(cb)sin C.关键点：根据条件借助正、余弦定理和基本不等式，求出 bc 的范围 3 asin A bsin Bcsin C2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C 可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.b2c2a22bc bc2bc12cos A，A60.ABC 中，4a2b2c22bccos 60b2c2
27、bc2bcbcbc(“”当且仅当 bc 时取得)，SABC12bcsin A124 32 3.教师备选题1(2015全国卷)ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD2DC.(1)求sin Bsin C；(2)若BAC60，求B.解(1)由正弦定理，得 ADsin BBDsinBAD，ADsin CDCsinCAD.因为 AD 平分BAC，BD2DC，所以sin Bsin CDCBD12.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以 sin Csin(BACB)32 cos B12sin B.由(1)知 2sin Bsin C，所以 tan B 33，所以B30.2(2014
28、全国卷)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求 C 和 BD；(2)求四边形 ABCD 的面积解(1)由题设及余弦定理得 BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C 由得 cos C12，故 C60，BD 7.(2)四边形 ABCD 的面积 S12ABDAsin A12BCCDsin C 12121232 sin 60 2 3.解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.1(求值)在ABC 中
29、，B4，BC 边上的高等于13BC，则 sin A()A.310 B.1010 C.55 D.3 1010D 如图，过点 A 作 ADBC 于点 D.设 BCa，由题意知 AD13BC13a，B4，易知 BDAD13a，DC23a.在 RtABD 中，由勾股定理得，AB13a213a2 23 a.同理，在 RtACD 中，AC13a223a2 53 a.SABC12ABACsinBAC12BCAD，12 23 a 53 asinBAC12a13a，sinBAC 3103 1010.2(最值、范围问题)已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin2Bsin2Asi
30、n2C 3sin Asin C.(1)求 B 的大小；(2)求 sin Acos C 的取值范围解(1)锐角三角形 ABC 中，sin2Bsin2Asin2C 3sin Asin C，故 b2a2c2 3ac，cos Ba2c2b22ac 32，又 B0，2，所以 B6.(2)由(1)知，C56 A，故 sin Acos Csin Acos56 A 32sin A 32 cos A 3sinA6.又 A0，2，C56 A0，2，所以 A3，2，A66，3，sinA6 12，32，故 sin Acos C 的取值范围为32，32.3(与三角函数的综合问题)已知函数 f(x)2cos2x(sin
31、xcos x)22.(1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的集合；(2)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f(A)1，若 AC 边上的高等于14b，求 cos C 的值解(1)由题意知 f(x)2cos2x12sin xcos x22sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2x 2sin2x4.f(x)max 2，此时 2x42k2，kZ，xk8，kZ.f(x)取得最大值时 x 的集合为 xxk8，kZ.(2)f(A)2sin2A4 1，sin2A4 22.又 A(0，)，2A44，94，2A434，解得 A4.设 AC 边上的高为 BD，则 BD14b.A4，BDAD14b，CD34b，BC 104 b，cos CCDBC3 1010.Thank you for watching!
