1、课时巩固过关练(十五)圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题一、选择题1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中F1(2，0)，P为C上一点，满足|OP|OF1|且|PF1|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析：设椭圆的焦距为2c，连接PF2，如图所示由F1(2，0)，得c2，又由|OP|OF1|OF2|，知PF1PF2，在PF1F2中，由勾股定理，得|PF2|8.由椭圆定义，得|PF1|PF2|2a4812，从而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，椭圆的方程为1.故选C.答案：C2“0k3”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件
2、 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：0k3，方程1表示双曲线；反之，方程1表示双曲线，(k1)(k5)0，解得1k5.“0k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A. B. C. D.解析：抛物线y28x的准线为x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|FA|x12，|FB|x22，|FA|2|FB|，x122(x22)，x12x22.将yk(x2)(k0)代入y28x，消去y并整理可得k2x2(4k28)x4k20.由韦达定理可得x1x24，x1x24.解得x1x2414，k0，解得k.故选D.答案：D
3、4设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A.或 B.或2 C.或2 D.或解析：|PF1|F1F2|PF2|432，设|PF1|4k，|F1F2|3k，|PF2|2k(k0)，若圆锥曲线为椭圆，则2a|PF1|PF2|6k,2c|F1F2|3k，则离心率e；若圆锥曲线为双曲线，则2a|PF1|PF2|2k,2c|F1F2|3k，则离心率e，故选A.答案：A5设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.解析：由题意可知直线AB的方程为y
4、，代入抛物线的方程得4y212y90，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23，y1y2，SOAB|OF|y1y2|.故选D.答案：D6过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于()A. B. C. D.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.故选B.答案：B7(2016上海嘉定一模)已知圆M过定点E(2,0)，圆心M在抛物线y24x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于()A4 B3 C2 D1解析：如
5、图，圆心M在抛物线y24x上，设M，r，圆M的方程为2(yy0)22y.令x0，得(yy0)2y4y，(yy0)24，yy02.|AB|y02(y02)4.故选A.答案：A8经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A、B两点设O为坐标原点，则等于()A3 B C或3 D解析：由y21，得a22，b21，c2a2b21，焦点为(1,0)不妨设直线l过右焦点，倾斜角为45，则直线l的方程为yx1.代入y21得x22(x1)220，即3x24x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x20，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)11，x1x2y1y20.同
6、理，可得直线l过左焦点时，.故选B.答案：B二、填空题9(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_解析：设OA所在的直线方程为yx，则OB所在的直线方程为yx，解方程组得所以点A的坐标为，抛物线的焦点F的坐标为.因为F是ABC的垂心，所以kOBkAF1.所以1.所以e21e.答案：三、解答题10(2015江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，
7、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|2AB|，求直线AB的方程解：(1)由题意，得，且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，AB，又CP3，不符合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,2，且x1x2，x1x2，又y1y2k(x1x2)2kk2k，点C的坐标为，|AB|.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴、与左准线平行，不符合题意从而k0，故直线PC的方程为y，则点P的坐标为，从而|PC|，
8、因为|PC|2|AB|，所以，解得k1.此时直线AB的方程为yx1或yx1.11已知椭圆G：y21，过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A，B两点(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值解：(1)由已知得a2，b1，所以c，所以椭圆G的焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e.(2)由题意知|m|1，当m1时，切线l的方程为x1，点A、B的坐标分别为，.此时|AB|，当m1时，同理可得|AB|.当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)，由得(14k2)x28k2mx4k2m240，设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2，又由切线l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于当m3时，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因为|AB|2，当且仅当m时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2.
